ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-26. вариант - А2

### Вариант А2 #### 1. Решите неравенство: **а)** $7^{3-x} < \frac{1}{49}$ Представим правую часть в виде степени с основанием $7$: $$ \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2} $$ Получаем неравенство: $$ 7^{3-x} < 7^{-2} $$ Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ 3 - x < -2 $$ $$ -x < -2 - 3 $$ $$ -x < -5 $$ Разделим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x > 5 $$ **Ответ:** $x \in (5; +\infty)$. --- **б)** $\left(\frac{1}{5}\right)^{2x^2-3x} \geq 5$ Представим обе части в виде степеней с основанием $5$: $$ \left(5^{-1}\right)^{2x^2-3x} \geq 5^1 $$ $$ 5^{-2x^2+3x} \geq 5^1 $$ Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ -2x^2 + 3x \geq 1 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ 2x^2 - 3x + 1 \leq 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 3x + 1 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ Разложим левую часть на множители: $$ 2(x - 0{,}5)(x - 1) \leq 0 $$ Решением квадратного неравенства является отрезок между корнями: $$ 0{,}5 \leq x \leq 1 $$ **Ответ:** $x \in [0{,}5; 1]$. --- **в)** $2^{x+2} + 2^{x+5} < 9$ Используем свойство степеней и вынесем за скобки общий множитель $2^{x+2}$: $$ 2^{x+2}(1 + 2^3) < 9 $$ $$ 2^{x+2}(1 + 8) < 9 $$ $$ 2^{x+2} \cdot 9 < 9 $$ Разделим обе части неравенства на $9$: $$ 2^{x+2} < 1 $$ Представим $1$ как $2^0$: $$ 2^{x+2} < 2^0 $$ Так как основание $2 > 1$, переходим к показателям с сохранением знака: $$ x + 2 < 0 $$ $$ x < -2 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -2)$. --- **г)** $9^x - 3^x \leq 6$ Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Перенесем число $6$ в левую часть: $$ (3^x)^2 - 3^x - 6 \leq 0 $$ Пусть $t = 3^x$, причем $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - t - 6 \leq 0 $$ Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ t_1 = -2, \quad t_2 = 3 $$ Следовательно: $$ (t + 2)(t - 3) \leq 0 $$ $$ -2 \leq t \leq 3 $$ С учетом условия $t > 0$ получаем: $$ 0 < t \leq 3 $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ 3^x \leq 3 $$ $$ 3^x \leq 3^1 $$ Так как основание $3 > 1$, показательная функция возрастает: $$ x \leq 1 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 1]$. --- #### 2. Решите графически неравенство: $$ 2^x \geq \frac{1}{2} $$ 1. Рассмотрим две функции: * $y_1 = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$ (возрастающая); * $y_2 = \frac{1}{2}$ — линейная функция (прямая, параллельная оси абсцисс). 2. Составим таблицу значений для построения графика $y_1 = 2^x$: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | Для прямой $y_2 = \frac{1}{2}$ значение $y = 0{,}5$ при любом $x$. 3. Найдем абсциссу точки пересечения графиков: $$ 2^x = \frac{1}{2} $$ $$ 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 $$ Точка пересечения графиков имеет координаты $\left(-1; \frac{1}{2}\right)$. 4. Неравенство $2^x \geq \frac{1}{2}$ означает, что график функции $y_1 = 2^x$ расположен выше графика $y_2 = \frac{1}{2}$ или совпадает с ним. По построенным графикам видно, что это выполняется при всех $x \geq -1$. **Ответ:** $x \in [-1; +\infty)$.