ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-26. вариант - А1

### 1 **Вариант А1** а) $5^{1-2x} > \frac{1}{125}$ Представим правую часть в виде степени с основанием $5$: $\frac{1}{125} = 5^{-3}$. $$ 5^{1-2x} > 5^{-3} $$ Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ 1 - 2x > -3 $$ $$ -2x > -4 $$ Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x < 2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 2)$. --- б) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x^2+3x} \leq 16$ Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$: $16 = 4^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$. $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{x^2+3x} \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} $$ Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, показательная функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 + 3x \geq -2 $$ $$ x^2 + 3x + 2 \geq 0 $$ Найдем нули квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$. $$ (x + 2)(x + 1) \geq 0 $$ Применим метод интервалов: парабола направлена ветвями вверх, поэтому выражение неотрицательно вне отрезка корней: $x \leq -2$ или $x \geq -1$. Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty)$. --- в) $3^x - 3^{x-3} > 26$ Вынесем общий множитель $3^{x-3}$ за скобки: $$ 3^{x-3} \cdot (3^3 - 1) > 26 $$ $$ 3^{x-3} \cdot (27 - 1) > 26 $$ $$ 3^{x-3} \cdot 26 > 26 $$ Разделим обе части на $26 > 0$: $$ 3^{x-3} > 1 $$ $$ 3^{x-3} > 3^0 $$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x - 3 > 0 \implies x > 3 $$ Ответ: $x \in (3; +\infty)$. --- г) $4^x - 2^x \geq 2$ Учитывая, что $4^x = (2^x)^2$, перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (2^x)^2 - 2^x - 2 \geq 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ t^2 - t - 2 \geq 0 $$ Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. $$ (t - 2)(t + 1) \geq 0 $$ Так как $t > 0$, множитель $(t + 1)$ положителен при любых допустимых $t$. Разделив на него обе части, получаем: $$ t - 2 \geq 0 \implies t \geq 2 $$ Вернемся к замене: $$ 2^x \geq 2^1 $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x \geq 1 $$ Ответ: $x \in [1; +\infty)$. --- **Вариант А2** а) $7^{3-x} < \frac{1}{49}$ Представим $\frac{1}{49}$ как $7^{-2}$: $$ 7^{3-x} < 7^{-2} $$ Так как основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 3 - x < -2 $$ $$ -x < -5 \implies x > 5 $$ Ответ: $x \in (5; +\infty)$. --- б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2x^2-3x} \geq 5$ Представим $5$ как $\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{2x^2-3x} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} $$ Так как основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, меняем знак неравенства: $$ 2x^2 - 3x \leq -1 $$ $$ 2x^2 - 3x + 1 \leq 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$: Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. $$ x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$ Решением неравенства является отрезок между корнями: $$ 0{,}5 \leq x \leq 1 $$ Ответ: $x \in [0{,}5; 1]$. --- в) $2^{x+2} + 2^{x+5} < 9$ Вынесем $2^{x+2}$ за скобки: $$ 2^{x+2} \cdot (1 + 2^3) < 9 $$ $$ 2^{x+2} \cdot (1 + 8) < 9 $$ $$ 2^{x+2} \cdot 9 < 9 $$ Разделим обе части на $9$: $$ 2^{x+2} < 1 $$ $$ 2^{x+2} < 2^0 $$ Так как основание $2 > 1$: $$ x + 2 < 0 \implies x < -2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; -2)$. --- г) $9^x - 3^x \leq 6$ Так как $9^x = (3^x)^2$, перепишем неравенство в виде: $$ (3^x)^2 - 3^x - 6 \leq 0 $$ Пусть $t = 3^x$, причем $t > 0$. $$ t^2 - t - 6 \leq 0 $$ Корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. $$ (t - 3)(t + 2) \leq 0 $$ Поскольку $t > 0$, множитель $(t + 2)$ строго положителен, следовательно: $$ t - 3 \leq 0 \implies t \leq 3 $$ С учетом условия $t > 0$: $$ 0 < 3^x \leq 3^1 $$ Так как $3^x > 0$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$, а основание $3 > 1$, получаем: $$ x \leq 1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1]$. --- ### 2 Решите графически неравенство: **$\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 2$ (Вариант А1)** 1. Построим в одной координатной плоскости графики функций $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y_2 = 2$: - График $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ — убывающая показательная кривая, проходящая через точки $(-2; 4)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 0{,}5)$. - График $y_2 = 2$ — горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. 2. Найдем точку пересечения графиков: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2 \implies 2^{-x} = 2^1 \implies x = -1 $$ Точка пересечения имеет координаты $(-1; 2)$. 3. Неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 2$ выполняется для тех значений $x$, при которых график показательной функции лежит не выше прямой $y = 2$. По графику видно, что условие выполняется при всех $x \geq -1$. Ответ: $x \in [-1; +\infty)$. --- **$2^x \geq \frac{1}{2}$ (Вариант А2)** 1. Построим в одной координатной плоскости графики функций $y_1 = 2^x$ и $y_2 = \frac{1}{2}$: - График $y_1 = 2^x$ — возрастающая показательная кривая, проходящая через точки $(-1; 0{,}5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$. - График $y_2 = \frac{1}{2}$ — горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. 2. Найдем точку пересечения графиков: $$ 2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 $$ Точка пересечения имеет координаты $(-1; 0{,}5)$. 3. Неравенство $2^x \geq \frac{1}{2}$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y_1 = 2^x$ лежит не ниже прямой $y_2 = \frac{1}{2}$. По графику видно, что условие выполняется при всех $x \geq -1$. Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.