ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-11. вариант - В1

### 1. Вычислите: **а)** $\arccos\left(\tg \frac{3\pi}{4}\right) - 2\arcsin 1$ 1) Найдем значение тангенса: $\tg \frac{3\pi}{4} = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tg \frac{\pi}{4} = -1$. 2) Вычислим значения обратных тригонометрических функций: $\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos \pi = -1$ и $\pi \in [0; \pi]$; $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. 3) Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi - \pi = 0 $$ **Ответ:** $0$ --- **б)** $\sin\left(2\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \arctg \sqrt{3}\right)$ 1) Вычислим значения арктангенсов: $\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, так как $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$; $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. 2) Найдем аргумент синуса: $$ 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ 3) Вычислим значение синуса: $$ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2}$ --- **в)** $\arccos(\sin(\arctg 0))$ 1) Вычислим значение внутреннего арктангенса: $\arctg 0 = 0$, так как $\tg 0 = 0$ и $0 \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. 2) Вычислим значение синуса: $\sin 0 = 0$. 3) Найдем значение арккосинуса: $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$. **Ответ:** $\frac{\pi}{2}$ --- ### 2. Сравните числа: Функция $y = \arctg x$ определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ и является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_1 < x_2$, то $\arctg x_1 < \arctg x_2$. 1) Сравним $\arctg(a - 1)$ и $\arctg(a + 1)$: При любом действительном значении $a$ верно неравенство: $$ a - 1 < a + 1 $$ В силу строгого возрастания функции арктангенса получаем: $$ \arctg(a - 1) < \arctg(a + 1) $$ 2) Сравним $\arctg a$ и $\arctg (a + 2)$: При любом действительном значении $a$ верно неравенство: $$ a < a + 2 $$ В силу строгого возрастания функции арктангенса получаем: $$ \arctg a < \arctg(a + 2) $$ **Ответ:** $\arctg(a - 1) < \arctg(a + 1)$; $\arctg a < \arctg(a + 2)$ --- ### 3. Найдите область определения функции: $$ y = \sqrt{-\arcsin(x + 1)} $$ Функция определена тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1. Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $-\arcsin(x + 1) \ge 0$. 2. Выражение под знаком арксинуса принадлежит отрезку $[-1; 1]$: $-1 \le x + 1 \le 1$. Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -\arcsin(x + 1) \ge 0 \\ -1 \le x + 1 \le 1 \end{cases} $$ Преобразуем первое неравенство: $$ \arcsin(x + 1) \le 0 $$ Так как функция $y = \arcsin t$ возрастает на отрезке $[-1; 1]$ и $\arcsin 0 = 0$, то неравенство $\arcsin t \le 0$ равносильно условию $-1 \le t \le 0$. Подставим вместо $t$ выражение $x + 1$: $$ \begin{cases} -1 \le x + 1 \le 0 \\ -1 \le x + 1 \le 1 \end{cases} $$ Пересечением этих двух условий является двойное неравенство: $$ -1 \le x + 1 \le 0 $$ Вычтем $1$ из всех частей неравенства: $$ -2 \le x \le -1 $$ Таким образом, областью определения функции является отрезок $[-2; -1]$. **Ответ:** $D(y) = [-2; -1]$ (или $x \in [-2; -1]$)