ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-11. вариант - Б1

# Вариант Б1 ## 1 а) Вычислим значение выражения: $\arccos(-1) = \pi$; $\arctg 0 = 0$. Подставим найденные значения: $$ \arccos(-1) - 2\arctg 0 = \pi - 2 \cdot 0 = \pi $$ Ответ: $\pi$. б) Используем свойства нечётности арксинуса и табличные значения: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$; $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$. Тогда: $$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg \sqrt{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 0 $$ Ответ: $0$. в) Вычислим внутреннюю функцию, а затем применим определение арккосинуса: $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Ответ: $\frac{3\pi}{4}$. ## 2 1) Сравним $\sin 1$ и $\arcsin 1$: Вычислим точное значение: $$ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $$ Так как $\pi > 3$, получаем: $$ \frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Для любого значения аргумента синус не превосходит единицы, то есть $\sin 1 \le 1$ (более того, поскольку $1 \ne \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, справедливо строгое неравенство $\sin 1 < 1$). Следовательно: $$ \sin 1 < 1 < \frac{\pi}{2} = \arcsin 1 $$ Значит, $\sin 1 < \arcsin 1$. 2) Сравним $\arccos 0$ и $\cos 0$: Вычислим значения каждого из чисел: $$ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $$ $$ \cos 0 = 1 $$ Поскольку $\pi \approx 3{,}14$, то: $$ \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 > 1 $$ Следовательно, $\arccos 0 > \cos 0$. Ответ: $\sin 1 < \arcsin 1$; $\arccos 0 > \cos 0$. ## 3 1) Выражение $\arccos(2a - 1)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда его подкоренное/аргументное значение принадлежит области определения функции $y = \arccos x$, то есть отрезку $[-1; 1]$: $$ -1 \le 2a - 1 \le 1 $$ Прибавим $1$ ко всем частям двойного неравенства: $$ 0 \le 2a \le 2 $$ Разделим все части неравенства на $2$: $$ 0 \le a \le 1 $$ Ответ: при $a \in [0; 1]$. 2) Выражение $\arcsin(3a + 2)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда его аргумент принадлежит отрезку $[-1; 1]$: $$ -1 \le 3a + 2 \le 1 $$ Вычтем $2$ из всех частей двойного неравенства: $$ -3 \le 3a \le -1 $$ Разделим все части неравенства на $3$: $$ -1 \le a \le -\frac{1}{3} $$ Ответ: при $a \in \left[-1; -\frac{1}{3}\right]$.