ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-10 - Уровень Б

Для построения графиков тригонометрических функций вида $y = A f(kx + \varphi) + c$ приведем аргумент к виду $k(x - x_0)$, используя свойства четности, вынесем коэффициент при $x$ за скобки, определим наименьший положительный период $T$ и последовательность геометрических преобразований базового графика. --- ### 1) $y = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = \sin \left( 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \sin x$:** * Сжатие к оси $Oy$ в $2$ раза: получаем график $y = \sin 2x$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ влево на $\frac{\pi}{6}$: получаем график $y = \sin \left( 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $\left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right]$:** * Нули функции: $\left(-\frac{\pi}{6}; 0\right)$, $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{5\pi}{6}; 0\right)$. * Максимум: $\left(\frac{\pi}{12}; 1\right)$. * Минимум: $\left(\frac{7\pi}{12}; -1\right)$. --- ### 2) $y = \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** Так как функция косинус четная, то $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$: $$y = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \cos x$:** * Растяжение от оси $Oy$ в $2$ раза: получаем график $y = \cos \frac{x}{2}$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{2}$: получаем график $y = \cos \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$:** * Максимумы: $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, $\left(\frac{9\pi}{2}; 1\right)$. * Минимум: $\left(\frac{5\pi}{2}; -1\right)$. * Нули функции: $\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$, $\left(\frac{7\pi}{2}; 0\right)$. --- ### 3) $y = -\operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = -\operatorname{tg} \left( \frac{1}{3}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$:** * Растяжение от оси $Oy$ в $3$ раза: получаем $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$. * Симметричное отражение относительно оси $Ox$: получаем $y = -\operatorname{tg} \frac{x}{3}$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ влево на $\frac{\pi}{2}$: получаем график $y = -\operatorname{tg} \left( \frac{1}{3}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \right)$. 4. **Ключевые элементы на периоде $\left( -2\pi; \pi \right)$:** * Вертикальные асимптоты: $x = -2\pi$ и $x = \pi$. * Ноль функции (центр симметрии): $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$. * Дополнительные точки: $\left(-\frac{5\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$. --- ### 4) $y = \operatorname{ctg} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) + 1$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = \operatorname{ctg} \left( 2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \right) + 1$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{\pi}{2}$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x$:** * Сжатие к оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = \operatorname{ctg} 2x$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ влево на $\frac{\pi}{3}$: получаем $y = \operatorname{ctg} \left( 2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \right)$. * Параллельный перенос вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу: получаем график $y = \operatorname{ctg} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) + 1$. 4. **Ключевые элементы на периоде $\left( -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6} \right)$:** * Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. * Центр симметрии: $\left(-\frac{\pi}{12}; 1\right)$. --- ### 5) $y = \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** Используем нечетность синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$: $$y = -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \sin x$:** * Растяжение от оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = \sin \frac{x}{2}$. * Симметричное отражение относительно оси $Ox$: получаем $y = -\sin \frac{x}{2}$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{3}$: получаем график $y = -\sin \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{13\pi}{3} \right]$:** * Нули функции: $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{7\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{13\pi}{3}; 0\right)$. * Минимум: $\left(\frac{4\pi}{3}; -1\right)$. * Максимум: $\left(\frac{10\pi}{3}; 1\right)$. --- ### 6) $y = 1 + \cos \left( \frac{2}{3}x + \frac{2\pi}{3} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = \cos \left( \frac{2}{3}(x + \pi) \right) + 1$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 3\pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \cos x$:** * Растяжение от оси $Oy$ в $\frac{3}{2} = 1,5$ раза: получаем $y = \cos \frac{2}{3}x$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ влево на $\pi$: получаем $y = \cos \left( \frac{2}{3}(x + \pi) \right)$. * Параллельный перенос вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу: получаем график $y = 1 + \cos \left( \frac{2}{3}x + \frac{2\pi}{3} \right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $[-\pi; 2\pi]$:** * Максимумы: $(-\pi; 2)$, $(2\pi; 2)$. * Минимум: $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. * Точки перегиба: $\left(-\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{5\pi}{4}; 1\right)$. --- ### 7) $y = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} - 2x \right)$ 1. **Преобразование формулы:** Используем нечетность тангенса $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$: $$y = -\operatorname{tg} \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = -\operatorname{tg} \left( 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{\pi}{2}$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$:** * Сжатие к оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = \operatorname{tg} 2x$. * Симметричное отражение относительно оси $Ox$: получаем $y = -\operatorname{tg} 2x$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{6}$: получаем график $y = -\operatorname{tg} \left( 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \right)$. 4. **Ключевые элементы на периоде $\left( -\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12} \right)$:** * Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$. * Ноль функции (центр симметрии): $\left(\frac{\pi}{6}; 0\right)$. --- ### 8) $y = 2\operatorname{ctg} \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = 2\operatorname{ctg} \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x$:** * Растяжение от оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$. * Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = 2\operatorname{ctg} \frac{x}{2}$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{3}$: получаем график $y = 2\operatorname{ctg} \left( \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right)$. 4. **Ключевые элементы на периоде $\left( \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3} \right)$:** * Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{7\pi}{3}$. * Ноль функции: $\left(\frac{4\pi}{3}; 0\right)$. * Дополнительные точки: $\left(\frac{5\pi}{6}; 2\right)$, $\left(\frac{11\pi}{6}; -2\right)$. --- ### 9) $y = 1 - \cos \left( 2x - \frac{4\pi}{3} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** $$y = -\cos \left( 2\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \right) + 1$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \cos x$:** * Сжатие к оси $Oy$ в $2$ раза: получаем $y = \cos 2x$. * Симметричное отражение относительно оси $Ox$: получаем $y = -\cos 2x$. * Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ вправо на $\frac{2\pi}{3}$: получаем $y = -\cos \left( 2\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \right)$. * Параллельный перенос вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу: получаем график $y = 1 - \cos \left( 2x - \frac{4\pi}{3} \right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $\left[ \frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right]$:** * Минимумы: $\left(\frac{2\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{5\pi}{3}; 0\right)$. * Максимум: $\left(\frac{7\pi}{6}; 2\right)$. * Точки пересечения с уровнем $y = 1$: $\left(\frac{11\pi}{12}; 1\right)$, $\left(\frac{17\pi}{12}; 1\right)$. --- ### 10) $y = -\sin \left( 1,5x + \frac{\pi}{2} \right)$ 1. **Преобразование формулы:** По формуле приведения $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha$: $$y = -\cos(1,5x) = -\cos\left(\frac{3}{2}x\right)$$ 2. **Период функции:** $$T = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{4\pi}{3}$$ 3. **Схема построения графика функции $y = \cos x$:** * Сжатие к оси $Oy$ в $\frac{3}{2} = 1,5$ раза: получаем $y = \cos\left(\frac{3}{2}x\right)$. * Симметричное отражение относительно оси $Ox$: получаем график $y = -\cos\left(\frac{3}{2}x\right)$. 4. **Ключевые точки на периоде $\left[ 0; \frac{4\pi}{3} \right]$:** * Минимумы: $(0; -1)$, $\left(\frac{4\pi}{3}; -1\right)$. * Максимум: $\left(\frac{2\pi}{3}; 1\right)$. * Нули функции: $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $(\pi; 0)$.