ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-10 - Уровень А

### 1) $y = 1,5 \sin 2x$ 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $-1 \le \sin 2x \le 1$, то $E(y) = [-1,5; 1,5]$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 1,5 \sin(2(-x)) = -1,5 \sin 2x = -y(x) $$ Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. 4. **Периодичность:** наименьший положительный период: $$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 1,5 \sin 0 = 0$; - с осью $Ox$: $1,5 \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Экстремумы:** - максимум: $y_{\max} = 1,5$ в точках $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - минимум: $y_{\min} = -1,5$ в точках $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 7. **Построение графика:** график получается из синусоиды $y = \sin x$ сжатием вдоль оси $Ox$ в 2 раза и растяжением вдоль оси $Oy$ в 1,5 раза. - Ключевые точки на периоде $[0; \pi]$: $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1,5\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; -1,5\right)$, $(\pi; 0)$. --- ### 2) $y = 2 \cos \frac{x}{2}$ 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $-1 \le \cos \frac{x}{2} \le 1$, то $E(y) = [-2; 2]$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 2 \cos\left(-\frac{x}{2}\right) = 2 \cos \frac{x}{2} = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси ординат. 4. **Периодичность:** наименьший положительный период: $$ T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 2 \cos 0 = 2$; - с осью $Ox$: $2 \cos \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Экстремумы:** - максимум: $y_{\max} = 2$ в точках $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - минимум: $y_{\min} = -2$ в точках $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 7. **Построение графика:** косинусоида $y = \cos x$ растягивается вдоль оси $Ox$ в 2 раза и вдоль оси $Oy$ в 2 раза. - Ключевые точки на периоде $[0; 4\pi]$: $(0; 2)$, $(\pi; 0)$, $(2\pi; -2)$, $(3\pi; 0)$, $(4\pi; 2)$. --- ### 3) $y = -\operatorname{tg} 3x$ 1. **Область определения:** $3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = -\operatorname{tg}(-3x) = \operatorname{tg} 3x = -y(x) $$ Функция нечётная, график симметричен относительно точки $(0; 0)$. 4. **Периодичность:** основной период тангенса равен $\pi$, следовательно: $$ T = \frac{\pi}{3} $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -\operatorname{tg} 0 = 0$; - с осью $Ox$: $-\operatorname{tg} 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Монотонность и асимптоты:** вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале области определения функция убывает. 7. **Построение графика:** тангенсоида сжимается вдоль оси $Ox$ в 3 раза и симметрично отражается относительно оси $Ox$. - Точки на интервале $\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right)$: $\left(-\frac{\pi}{12}; 1\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{12}; -1\right)$. --- ### 4) $y = 0,5 \operatorname{ctg} 0,5x$ 1. **Область определения:** $0,5x \ne \pi k \implies x \ne 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 0,5 \operatorname{ctg}(-0,5x) = -0,5 \operatorname{ctg} 0,5x = -y(x) $$ Функция нечётная. 4. **Периодичность:** наименьший положительный период: $$ T = \frac{\pi}{0,5} = 2\pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: график не пересекает ось $Oy$ ($x = 0$ не входит в $D(y)$); - с осью $Ox$: $0,5 \operatorname{ctg} 0,5x = 0 \implies 0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Монотонность и асимптоты:** вертикальные асимптоты — прямые $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале области определения функция монотонно убывает. 7. **Построение графика:** котангенсоида растягивается вдоль оси $Ox$ в 2 раза и сжимается к оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза. - Точки на интервале $(0; 2\pi)$: $\left(\frac{\pi}{2}; 0,5\right)$, $(\pi; 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}; -0,5\right)$. --- ### 5) $y = \sin \frac{1}{3}x - 1$ 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $-1 \le \sin \frac{1}{3}x \le 1$, то $-2 \le \sin \frac{1}{3}x - 1 \le 0 \implies E(y) = [-2; 0]$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = \sin\left(-\frac{x}{3}\right) - 1 = -\sin \frac{x}{3} - 1 $$ Функция ни чётная, ни нечётная (общего вида). 4. **Периодичность:** $$ T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = \sin 0 - 1 = -1$; - с осью $Ox$: $\sin \frac{x}{3} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{3} = 1 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Экстремумы:** - максимум: $y_{\max} = 0$ в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - минимум: $y_{\min} = -2$ при $\sin \frac{x}{3} = -1 \implies \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 7. **Построение графика:** график получается из синусоиды растяжением вдоль оси $Ox$ в 3 раза и последующим параллельным переносом вниз на 1 единицу вдоль оси $Oy$. - Ключевые точки на периоде $[0; 6\pi]$: $(0; -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$, $(3\pi; -1)$, $\left(\frac{9\pi}{2}; -2\right)$, $(6\pi; -1)$. --- ### 6) $y = 2 - \cos 2x$ 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $-1 \le -\cos 2x \le 1 \implies 1 \le 2 - \cos 2x \le 3$, то есть $E(y) = [1; 3]$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 2 - \cos(2(-x)) = 2 - \cos 2x = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. 4. **Периодичность:** $$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 2 - \cos 0 = 2 - 1 = 1$; - с осью $Ox$: пересечений нет, так как $y(x) \ge 1 > 0$ при всех $x$. 6. **Экстремумы:** - минимум: $y_{\min} = 1$ при $\cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - максимум: $y_{\max} = 3$ при $\cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 7. **Построение графика:** косинусоида сжимается вдоль оси $Ox$ в 2 раза, зеркально отражается относительно оси $Ox$ и сдвигается вверх на 2 единицы вдоль оси $Oy$. - Ключевые точки на периоде $[0; \pi]$: $(0; 1)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 2\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 3\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 2\right)$, $(\pi; 1)$. --- ### 7) $y = \frac{1}{3} \operatorname{tg} 2x$ 1. **Область определения:** $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = \frac{1}{3}\operatorname{tg}(-2x) = -\frac{1}{3}\operatorname{tg} 2x = -y(x) $$ Функция нечётная. 4. **Периодичность:** $$ T = \frac{\pi}{2} $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = \frac{1}{3}\operatorname{tg} 0 = 0$; - с осью $Ox$: $\frac{1}{3}\operatorname{tg} 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Монотонность и асимптоты:** асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале области определения функция монотонно возрастает. 7. **Построение графика:** график $y = \operatorname{tg} x$ сжимается вдоль оси $Ox$ в 2 раза и вдоль оси $Oy$ в 3 раза. - Точки на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right)$: $\left(-\frac{\pi}{8}; -\frac{1}{3}\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{8}; \frac{1}{3}\right)$. --- ### 8) $y = -2 \operatorname{ctg} \frac{2x}{3}$ 1. **Область определения:** $\frac{2x}{3} \ne \pi k \implies x \ne \frac{3\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = -2 \operatorname{ctg}\left(-\frac{2x}{3}\right) = 2 \operatorname{ctg} \frac{2x}{3} = -y(x) $$ Функция нечётная. 4. **Периодичность:** $$ T = \frac{\pi}{2/3} = \frac{3\pi}{2} = 1,5\pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: нет, так как $x = 0$ не принадлежит $D(y)$; - с осью $Ox$: $-2 \operatorname{ctg} \frac{2x}{3} = 0 \implies \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Монотонность и асимптоты:** вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{3\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. Из-за знака «минус» функция монотонно возрастает на каждом интервале области определения. 7. **Построение графика:** базовый котангенс растягивается вдоль оси $Ox$ в 1,5 раза, вдоль оси $Oy$ в 2 раза и симметрично отражается относительно оси $Ox$. - Точки на интервале $\left(0; \frac{3\pi}{2}\right)$: $\left(\frac{3\pi}{8}; -2\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$, $\left(\frac{9\pi}{8}; 2\right)$. --- ### 9) $y = 1 + \operatorname{tg} \frac{x}{4}$ 1. **Область определения:** $\frac{x}{4} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne 2\pi + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 1 + \operatorname{tg}\left(-\frac{x}{4}\right) = 1 - \operatorname{tg} \frac{x}{4} $$ Функция ни чётная, ни нечётная (общего вида). 4. **Периодичность:** $$ T = \frac{\pi}{1/4} = 4\pi $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 1 + \operatorname{tg} 0 = 1$; - с осью $Ox$: $1 + \operatorname{tg} \frac{x}{4} = 0 \implies \operatorname{tg} \frac{x}{4} = -1 \implies \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\pi + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Монотонность и асимптоты:** вертикальные асимптоты — прямые $x = 2\pi + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Функция монотонно возрастает на каждом интервале области определения. 7. **Построение графика:** график $y = \operatorname{tg} x$ растягивается вдоль оси $Ox$ в 4 раза и поднимается на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. - Точки на интервале $(-2\pi; 2\pi)$: $(-\pi; 0)$, $(0; 1)$, $(\pi; 2)$. --- ### 10) $y = -3 \cos 1,5x$ 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $-1 \le \cos 1,5x \le 1$, то $E(y) = [-3; 3]$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = -3 \cos(1,5(-x)) = -3 \cos 1,5x = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. 4. **Периодичность:** так как $1,5 = \frac{3}{2}$, период равен: $$ T = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} $$ 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -3 \cos 0 = -3$; - с осью $Ox$: $-3 \cos 1,5x = 0 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$. 6. **Экстремумы:** - минимум: $y_{\min} = -3$ при $\cos 1,5x = 1 \implies \frac{3x}{2} = 2\pi k \implies x = \frac{4\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$; - максимум: $y_{\max} = 3$ при $\cos 1,5x = -1 \implies \frac{3x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}$. 7. **Построение графика:** косинусоида сжимается вдоль оси $Ox$ в 1,5 раза (в $\frac{3}{2}$ раза), растягивается вдоль оси $Oy$ в 3 раза и зеркально отражается относительно оси $Ox$. - Ключевые точки на периоде $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$: $(0; -3)$, $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{2\pi}{3}; 3\right)$, $(\pi; 0)$, $\left(\frac{4\pi}{3}; -3\right)$.