ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-1. вариант - Б1

### Вариант Б1 ### 1 **а)** Вычислите: $2 \cos 30^\circ \operatorname{ctg} 60^\circ - \sin \frac{3\pi}{2}$. Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$. Выполним вычисления: $$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = \frac{3}{3} + 1 = 1 + 1 = 2 $$ **Ответ:** $2$ --- **б)** Вычислите: $\frac{\sin 390^\circ - \sin(-390^\circ)}{\operatorname{tg}(-765^\circ)}$. 1. Используем нечетность синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$: $$ \sin 390^\circ - \sin(-390^\circ) = \sin 390^\circ - (-\sin 390^\circ) = 2\sin 390^\circ $$ 2. Выделим полный оборот $360^\circ$: $$ \sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$ Тогда числитель равен: $$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$ 3. Преобразуем знаменатель, используя нечетность и периодичность тангенса с периодом $180^\circ$ (или $360^\circ$): $$ \operatorname{tg}(-765^\circ) = -\operatorname{tg} 765^\circ = -\operatorname{tg}(2 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1 $$ 4. Найдем значение всей дроби: $$ \frac{1}{-1} = -1 $$ **Ответ:** $-1$ --- ### 2 Сравните значения выражений: **а)** $\cos \frac{25\pi}{13} \operatorname{tg} \frac{11\pi}{10}$ и $\sin(-330^\circ) \operatorname{ctg} 100^\circ$. Определим знаки выражений: 1. Для первого выражения $\cos \frac{25\pi}{13} \operatorname{tg} \frac{11\pi}{10}$: - Угол $\frac{25\pi}{13} = 2\pi - \frac{\pi}{13}$ лежит в IV четверти, где косинус положителен: $\cos \frac{25\pi}{13} > 0$. - Угол $\frac{11\pi}{10} = \pi + \frac{\pi}{10}$ лежит в III четверти, где тангенс положителен: $\operatorname{tg} \frac{11\pi}{10} > 0$. - Произведение двух положительных чисел положительно: $$ \cos \frac{25\pi}{13} \operatorname{tg} \frac{11\pi}{10} > 0 $$ 2. Для второго выражения $\sin(-330^\circ) \operatorname{ctg} 100^\circ$: - $\sin(-330^\circ) = -\sin 330^\circ = -\sin(360^\circ - 30^\circ) = -(-\sin 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} > 0$. - Угол $100^\circ$ лежит во II четверти ($90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$), где котангенс отрицателен: $\operatorname{ctg} 100^\circ < 0$. - Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $$ \sin(-330^\circ) \operatorname{ctg} 100^\circ < 0 $$ Так как положительное число всегда больше отрицательного: $$ \cos \frac{25\pi}{13} \operatorname{tg} \frac{11\pi}{10} > \sin(-330^\circ) \operatorname{ctg} 100^\circ $$ **Ответ:** $\cos \frac{25\pi}{13} \operatorname{tg} \frac{11\pi}{10} > \sin(-330^\circ) \operatorname{ctg} 100^\circ$ --- **б)** $\cos 2^\circ$ и $\cos 2$. 1. Угол $2^\circ$ выражен в градусах. Так как $0^\circ < 2^\circ < 90^\circ$ (угол I четверти), то $\cos 2^\circ > 0$. 2. Число $2$ задает угол в радианах. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, а $\pi \approx 3{,}14$, то: $$ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $$ Следовательно, угол в $2$ радиана находится во II четверти, где косинус принимает отрицательные значения, то есть $\cos 2 < 0$. 3. Положительное число больше отрицательного: $$ \cos 2^\circ > \cos 2 $$ **Ответ:** $\cos 2^\circ > \cos 2$ --- ### 3 При каких значениях $a$ возможно равенство: $\sin x = a^2 + 1$? Множеством значений функции $y = \sin x$ является отрезок $[-1; 1]$, то есть для любого действительного $x$ справедливо двойное неравенство: $$ -1 \le \sin x \le 1 $$ Следовательно, данное равенство возможно тогда и только тогда, когда: $$ -1 \le a^2 + 1 \le 1 $$ Решим полученную систему неравенств: $$ \begin{cases} a^2 + 1 \ge -1 \\ a^2 + 1 \le 1 \end{cases} $$ 1. Неравенство $a^2 \ge -2$ выполняется при любом действительном значении $a$, так как $a^2 \ge 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$. 2. Из второго неравенства получаем: $$ a^2 \le 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то неравенство $a^2 \le 0$ имеет единственное решение: $$ a = 0 $$ При $a = 0$ равенство принимает вид $\sin x = 1$, что имеет решения ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). **Ответ:** при $a = 0$