ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 14

Решим уравнение с помощью метода промежутков (раскрытия модулей на числовых промежутках): $$ |x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4 $$ Найдем нули подмодульных выражений: $x - 1 = 0 \implies x = 1$; $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Точки $1$, $2$ и $3$ разбивают числовую прямую на четыре промежутка. Раскроем модули на каждом из них. **1. Промежуток $x < 1$** На этом промежутке все подмодульные выражения отрицательны: $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$ $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$ $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ Подставим в уравнение: $$ (-x + 1) - 2(-x + 2) + 3(-x + 3) = 4 $$ $$ -x + 1 + 2x - 4 - 3x + 9 = 4 $$ $$ -2x + 6 = 4 $$ $$ -2x = -2 $$ $$ x = 1 $$ Значение $x = 1$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 1$ (на данном интервале решений нет). **2. Промежуток $1 \leqslant x \leqslant 2$** На этом промежутке: $|x - 1| = x - 1$ $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$ $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ Подставим в уравнение: $$ (x - 1) - 2(-x + 2) + 3(-x + 3) = 4 $$ $$ x - 1 + 2x - 4 - 3x + 9 = 4 $$ $$ 0 \cdot x + 4 = 4 $$ $$ 4 = 4 $$ Получили верное числовое равенство при любом значении переменной из данного промежутка. Значит, решением является весь отрезок $1 \leqslant x \leqslant 2$. **3. Промежуток $2 < x \leqslant 3$** На этом промежутке: $|x - 1| = x - 1$ $|x - 2| = x - 2$ $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ Подставим в уравнение: $$ (x - 1) - 2(x - 2) + 3(-x + 3) = 4 $$ $$ x - 1 - 2x + 4 - 3x + 9 = 4 $$ $$ -4x + 12 = 4 $$ $$ -4x = -8 $$ $$ x = 2 $$ Значение $x = 2$ не входит в полуинтервал $(2; 3]$ (оно уже включено в решение во втором случае). **4. Промежуток $x > 3$** На этом промежутке все подмодульные выражения положительны: $|x - 1| = x - 1$ $|x - 2| = x - 2$ $|x - 3| = x - 3$ Подставим в уравнение: $$ (x - 1) - 2(x - 2) + 3(x - 3) = 4 $$ $$ x - 1 - 2x + 4 + 3x - 9 = 4 $$ $$ 2x - 6 = 4 $$ $$ 2x = 10 $$ $$ x = 5 $$ Значение $x = 5$ удовлетворяет условию $x > 3$, следовательно, является корнем уравнения. Объединяя найденные решения, получаем: $1 \leqslant x \leqslant 2$ и $x = 5$. Ответ: $1 \leqslant x \leqslant 2$; $x = 5$.