ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 13

13. 5) Найдем значение выражения: $$ \cos \left( \arcsin \frac{12}{13} \right) $$ Пусть $\alpha = \arcsin \frac{12}{13}$. По определению арксинуса: $$ \sin \alpha = \frac{12}{13}, \quad \text{где } \alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $$ Так как $\sin \alpha = \frac{12}{13} > 0$, угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $\alpha \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$, следовательно, $\cos \alpha > 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$ $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $$ Таким образом: $$ \cos \left( \arcsin \frac{12}{13} \right) = \frac{5}{13} $$ Ответ: $\frac{5}{13}$.