ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 29

29. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin 2x (1 + \cos 2x) = 4 \cos^2 x $$ Используем формулу косинуса двойного угла в виде формулы понижения степени: $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$. Подставим это выражение в уравнение: $$ \sin 2x \cdot 2 \cos^2 x = 4 \cos^2 x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2 \sin 2x \cos^2 x - 4 \cos^2 x = 0 $$ Вынесем общий множитель $2 \cos^2 x$ за скобки: $$ 2 \cos^2 x (\sin 2x - 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos^2 x = 0 \iff \cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin 2x - 2 = 0 \iff \sin 2x = 2$ Так как для любого действительного значения переменной верно неравенство $-1 \le \sin 2x \le 1$, уравнение $\sin 2x = 2$ не имеет действительных корней. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.