ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 28

28. Решим уравнение: $$ 4 \sin 3x \cos x - \sin x \cos 3x = 0 $$ Применим формулы произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$, $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))$. Получаем: $$ \sin 3x \cos x = \frac{\sin 4x + \sin 2x}{2} $$ $$ \sin x \cos 3x = \frac{\sin 4x - \sin 2x}{2} $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 4 \cdot \frac{\sin 4x + \sin 2x}{2} - \frac{\sin 4x - \sin 2x}{2} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ 4(\sin 4x + \sin 2x) - (\sin 4x - \sin 2x) = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 4 \sin 4x + 4 \sin 2x - \sin 4x + \sin 2x = 0 $$ $$ 3 \sin 4x + 5 \sin 2x = 0 $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$: $$ 3 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) + 5 \sin 2x = 0 $$ $$ 6 \sin 2x \cos 2x + 5 \sin 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки: $$ \sin 2x (6 \cos 2x + 5) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 2x = 0$ $$ 2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $6 \cos 2x + 5 = 0$ $$ 6 \cos 2x = -5 $$ $$ \cos 2x = -\frac{5}{6} $$ $$ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{5}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, запишем: $$ 2x = \pm \left(\pi - \arccos \frac{5}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{1}{2}\left(\pi - \arccos \frac{5}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{2}\left(\pi - \arccos \frac{5}{6}\right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.