ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 19

19. Найдем значение выражения: $$ 4 \arcsin \left( \sin \left( - \frac{2\pi}{5} \right) \right) $$ По определению арксинуса, равенство $\arcsin(\sin x) = x$ справедливо для всех $x \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$. Сравним угол $x = -\frac{2\pi}{5}$ с границами отрезка $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$: $$ -\frac{\pi}{2} = -\frac{2{,}5\pi}{5} < -\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2} $$ Так как $-\frac{2\pi}{5} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$, то: $$ \arcsin \left( \sin \left( - \frac{2\pi}{5} \right) \right) = - \frac{2\pi}{5} $$ Подставим полученное значение в исходное выражение: $$ 4 \arcsin \left( \sin \left( - \frac{2\pi}{5} \right) \right) = 4 \cdot \left( - \frac{2\pi}{5} \right) = - \frac{8\pi}{5} $$ Ответ: $-\frac{8\pi}{5}$.