ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 1 - 23

Возведем обе части равенства $\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ в квадрат: $$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 $$ $$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{2} $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2} $$ $$ 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2} \implies \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} $$ Воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла: $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$, $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$. Преобразуем искомое выражение: $$ \sin 3\alpha + \cos 3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) + (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \sin 3\alpha + \cos 3\alpha = 3(\sin\alpha - \cos\alpha) - 4(\sin^3\alpha - \cos^3\alpha) $$ Разложим разность кубов $\sin^3\alpha - \cos^3\alpha$ по формуле сокращенного умножения: $$ \sin^3\alpha - \cos^3\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) $$ $$ \sin^3\alpha - \cos^3\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha) $$ Подставим известные значения: $$ \sin^3\alpha - \cos^3\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4\sqrt{2}} $$ Теперь подставим полученные величины в выражение для $\sin 3\alpha + \cos 3\alpha$: $$ \sin 3\alpha + \cos 3\alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 4 \cdot \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{5}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} $$ Ответ: $-\sqrt{2}$