ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 27 / вариант 1 - 13

13. Решим уравнение: $$ 2 \cos^2(-3x) - 3 = \sin(-3x) - 2 \sin^2(-3x) $$ Используем свойства чётности косинуса и нечётности синуса: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. Следовательно: $\cos^2(-3x) = (\cos(-3x))^2 = \cos^2(3x)$; $\sin(-3x) = -\sin(3x)$; $\sin^2(-3x) = (-\sin(3x))^2 = \sin^2(3x)$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 2 \cos^2(3x) - 3 = -\sin(3x) - 2 \sin^2(3x) $$ Перенесём слагаемые, содержащие тригонометрические функции, в левую часть уравнения: $$ 2 \cos^2(3x) + 2 \sin^2(3x) + \sin(3x) - 3 = 0 $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ 2(\cos^2(3x) + \sin^2(3x)) + \sin(3x) - 3 = 0 $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(3x) + \sin^2(3x) = 1$: $$ 2 \cdot 1 + \sin(3x) - 3 = 0 $$ $$ \sin(3x) - 1 = 0 $$ $$ \sin(3x) = 1 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение (частный случай): $$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $3$: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.