ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 16

Преобразуем выражение $\sin \alpha + \cos \alpha$, применив метод вспомогательного угла. 1. Умножим и разделим выражение на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$: $$ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha \right) $$ 2. Заменим числовые коэффициенты значениями тригонометрических функций угла $\frac{\pi}{4}$: Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right) $$ 3. Применим формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$: $$ \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) $$ *(Выражение также можно представить через косинус разности: $\left.\sqrt{2} \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)\right)$.* Ответ: $\sqrt{2} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right)$ (или $\left. \sqrt{2} \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) \right)$