ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 13

13. Преобразуем числитель и знаменатель дроби в произведение с помощью формул сложения и формул приведения. 1) Преобразуем числитель: Используем формулу приведения $\cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$. Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}$: $$ \cos 20^\circ - \sin 20^\circ = \sin 70^\circ - \sin 20^\circ = 2 \sin\frac{70^\circ - 20^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ + 20^\circ}{2} = 2 \sin 25^\circ \cos 45^\circ $$ 2) Преобразуем знаменатель: Используем формулу приведения $\cos 65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin 25^\circ$. Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$: $$ \sin 65^\circ + \cos 65^\circ = \sin 65^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{65^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{65^\circ - 25^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 20^\circ $$ 3) Подставим полученные произведения в исходную дробь и упростим ее, учитывая, что $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \frac{\cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 65^\circ + \cos 65^\circ} = \frac{2 \sin 25^\circ \cos 45^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 20^\circ} = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 20^\circ} $$ Используя формулу приведения $\cos 20^\circ = \sin 70^\circ$, результат также можно записать в виде: $$ \frac{\sin 25^\circ}{\sin 70^\circ} $$ Ответ: $\frac{\sin 25^\circ}{\cos 20^\circ}$ (или $\frac{\sin 25^\circ}{\sin 70^\circ}$).