ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / КР-4 / вариант 1 - 7

7. Решим уравнение: $$ \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, то есть $x > 0$. 2. Приведём логарифмы к основанию $2$, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ \log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x $$ $$ \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 x = 2 \log_2 x $$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \frac{1}{3} \log_2 x + 2 \log_2 x = 14 $$ 4. Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки и выполним сложение коэффициентов: $$ \left(\frac{1}{3} + 2\right) \log_2 x = 14 $$ $$ \frac{7}{3} \log_2 x = 14 $$ 5. Найдём значение $\log_2 x$: $$ \log_2 x = 14 : \frac{7}{3} $$ $$ \log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7} $$ $$ \log_2 x = 6 $$ 6. По определению логарифма: $$ x = 2^6 $$ $$ x = 64 $$ Значение $x = 64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$). Ответ: 64