ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 9

**9. 4)** Решим неравенство: $$ \log_2(x^2 + x + 2) > 3 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным: $$ x^2 + x + 2 > 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 2$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $$ Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$), парабола лежит выше оси абсцисс, и неравенство $x^2 + x + 2 > 0$ выполняется при всех $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. **Решение неравенства:** Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $2$: $$ 3 = \log_2(2^3) = \log_2 8 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_2(x^2 + x + 2) > \log_2 8 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + x + 2 > 8 $$ Перенесем $8$ в левую часть: $$ x^2 + x + 2 - 8 > 0 $$ $$ x^2 + x - 6 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x + 3)(x - 2) > 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, следовательно, выражение положительно вне отрезка между корнями: $$ x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2 $$ 3. **Учет ОДЗ:** Так как ОДЗ — вся числовая прямая, решением является объединение полученных интервалов: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$