ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 8

**8.** Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x+7) < -3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $$ x + 7 > 0 \implies x > -7 $$ 2. Представим число в правой части неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $$ -3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x+7) < \log_{\frac{1}{2}} 8 $$ 3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x + 7 > 8 $$ $$ x > 8 - 7 $$ $$ x > 1 $$ 4. Учтем ОДЗ, составив систему: $$ \begin{cases} x > -7 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1 $$ Таким образом, решением неравенства является интервал $(1; +\infty)$. **Ответ:** $(1; +\infty)$