ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 14

Решим логарифмическое неравенство: $$ \lg(2x - 4) \leqslant \lg(3x - 5) $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 4 \\ 3x > 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > \dfrac{5}{3} \end{cases} $$ Пересечением этих условий является промежуток $x > 2$. 2. Так как основание десятичного логарифма равно $10$ ($10 > 1$), логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется: $$ 2x - 4 \leqslant 3x - 5 $$ Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую: $$ 2x - 3x \leqslant -5 + 4 $$ $$ -x \leqslant -1 $$ Разделим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x \geqslant 1 $$ 3. Найдём общее решение, объединив полученное условие с ОДЗ: $$ \begin{cases} x \geqslant 1 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2 $$ Ответ: $x \in (2; +\infty)$.