ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 18 / вариант 1 - 29

Решим уравнение функционально-графическим методом. $$4 \log_{\frac{1}{3}} x = x - 4$$ ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$x > 0$$ ### 2. Анализ функций и монотонности Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: $$f(x) = 4 \log_{\frac{1}{3}} x \quad \text{и} \quad g(x) = x - 4$$ * Функция $f(x) = 4 \log_{\frac{1}{3}} x$ определена при $x > 0$ и является **строго убывающей** на всей области определения, так как основание логарифма удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < 1$. * Функция $g(x) = x - 4$ является линейной с угловым коэффициентом $k = 1 > 0$, следовательно, она **строго возрастает** на всей числовой прямой, в том числе и при $x > 0$. По теореме о корне: если одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет на этом промежутке **не более одного корня**. ### 3. Нахождение корня (графический метод) Построим графики функций $y = 4 \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = x - 4$ при $x > 0$. Для построения графика функции $y = 4 \log_{\frac{1}{3}} x$ составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $0$ | $-4$ | Для построения прямой $y = x - 4$ выберем две точки: | $x$ | $0$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-4$ | $0$ | Определим отрезок, на котором находится точка пересечения графиков: * При $x = 1$: $$f(1) = 4 \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$$ $$g(1) = 1 - 4 = -3$$ Получаем: $f(1) > g(1)$. * При $x = 3$: $$f(3) = 4 \log_{\frac{1}{3}} 3 = -4$$ $$g(3) = 3 - 4 = -1$$ Получаем: $f(3) < g(3)$. Так как функции непрерывны на интервале $(1; 3)$ и знак разности $f(x) - g(x)$ меняется с плюса на минус, точка пересечения графиков существует и лежит внутри интервала $(1; 3)$. Уточним положение корня: * При $x = 2$: $$g(2) = 2 - 4 = -2$$ $$f(2) = 4 \log_{\frac{1}{3}} 2 \approx -2{,}52 \quad (f(2) < g(2))$$ * При $x = 1{,}5$: $$g(1{,}5) = 1{,}5 - 4 = -2{,}5$$ $$f(1{,}5) = 4 \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5 \approx -1{,}48 \quad (f(1{,}5) > g(1{,}5))$$ Следовательно, корень лежит в интервале $(1{,}5; 2)$ и по графику приближённо равен $x \approx 1{,}8$. Уравнение имеет единственный корень. Ответ: уравнение имеет один корень, $x \approx 1{,}8$ (принадлежит интервалу $(1; 2)$).