ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 12

12. 6) Вычислим значение выражения: $$ \log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} 2\frac{1}{4} $$ 1. Преобразуем основание логарифма, внеся число 3 под знак квадратного корня: $$ \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{3^2}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}} $$ 2. Переведём смешанную дробь $2\frac{1}{4}$ в неправильную и представим её как степень числа $\frac{2}{3}$: $$ 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} $$ 3. Подставим полученные степени в исходное выражение и применим свойство $\log_{a^k} (a^m) = \frac{m}{k}$: $$ \log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} 2\frac{1}{4} = \log_{\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{-2}{\frac{1}{2}} \cdot \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right) = -2 \cdot 2 \cdot 1 = -4 $$ Ответ: $-4$