ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратичная функция / вариант 2 - 6

Построим график функции $y = |x^2 + 2x - 3|$. График функции вида $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: 1. Строится график функции $y = f(x)$. 2. Часть графика, расположенная выше оси $Ox$ или на ней ($f(x) \ge 0$), остаётся без изменений. 3. Часть графика, расположенная ниже оси $Ox$ ($f(x) < 0$), симметрично отображается относительно оси $Ox$ вверх. ### 1. Построение графика базовой функции $y = x^2 + 2x - 3$ Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$. * **Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:** $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 $$ $$ y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$ Вершина находится в точке $(-1; -4)$. * **Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$):** $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -3, \quad x_2 = 1 $$ Точки пересечения: $(-3; 0)$ и $(1; 0)$. * **Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$):** $$ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3 $$ Точка пересечения: $(0; -3)$. * **Дополнительные точки для построения:** * при $x = -2$: $y = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = -3$; * при $x = 2$: $y = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 5$; * при $x = -4$: $y = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 5$. --- ### 2. Применение модуля По определению модуля: $$ y = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & \text{если } x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty), \\ -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3, & \text{если } x \in (-3; 1). \end{cases} $$ Часть параболы на интервале $(-3; 1)$ отображается зеркально относительно оси $Ox$: * вершина $(-1; -4)$ переходит в точку $(-1; 4)$; * точка $(0; -3)$ переходит в точку $(0; 3)$; * точка $(-2; -3)$ переходит в точку $(-2; 3)$. Таблица контрольных точек для построения итогового графика: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $5$ | График состоит из двух частей параболы с ветвями вверх при $x \le -3$ и $x \ge 1$, соединённых перевёрнутой дугой параболы с вершиной в точке $(-1; 4)$ при $x \in (-3; 1)$, касающейся оси $Ox$ в точках $(-3; 0)$ и $(1; 0)$.