ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 41

Исследуем функцию $y = x^{14} + 1$ и построим её схематический график. **1. Область определения функции** Показатель степени $n = 14$ — натуральное число, поэтому выражение $x^{14} + 1$ определено при любых действительных значениях переменной $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Множество значений функции** Так как показатель степени чётный, то для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $x^{14} \ge 0$. Прибавим к обеим частям неравенства $1$: $$ x^{14} + 1 \ge 1 $$ При $x = 0$ функция принимает наименьшее значение: $y(0) = 0^{14} + 1 = 1$. При $|x| \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают. Следовательно, множество значений: $$ E(y) = [1; +\infty) $$ **3. Интервалы знакопостоянства** Так как при всех действительных $x$ справедливо неравенство $y \ge 1 > 0$, функция принимает только положительные значения на всей своей области определения: - $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; - промежутков, где $y < 0$, нет; - нулей функция не имеет (график не пересекает ось $Ox$). **4. Промежутки возрастания и убывания** Функция является чётной: $f(-x) = (-x)^{14} + 1 = x^{14} + 1 = f(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси ординат. - При $x \le 0$ с увеличением $x$ значения функции убывают, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$. - При $x \ge 0$ с увеличением $x$ значения функции возрастают, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. - Точка $(0; 1)$ является точкой минимума. **5. Схематический график функции** График получается параллельным переносом графика функции $y = x^{14}$ вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вверх. Он имеет форму, похожую на параболу с «уплощённым» основанием вблизи вершины $(0; 1)$ и ветвями, резко уходящими вверх при $|x| > 1$. Характерные точки для построения: - вершина: $(0; 1)$; - дополнительные симметричные точки: $(-1; 2)$ и $(1; 2)$. Схематический вид графика: ```text y ^ | | | | | 2 +---+---+ (1; 2) (-1; 2) | | | 1 +---*---+ (0; 1) | \___/ | | | ----------+---+---+------> x -1 0 1 ``` --- **Ответ:** 1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Множество значений: $E(y) = [1; +\infty)$. 3. Интервалы знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$. 4. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$.