ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 40

**40.** (6) Построим график функции $y = (x + 3)^{-2}$. Перепишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{(x + 3)^2} $$ **1. Свойства функции:** 1. **Область определения:** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ (x + 3)^2 \neq 0 \implies x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 $$ Таким образом, $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. 2. **Множество значений:** Так как $(x + 3)^2 > 0$ при всех $x \neq -3$, то $y > 0$. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$. 3. **Нули функции и пересечение с осями координат:** * Нулей нет, так как дробь $\frac{1}{(x + 3)^2}$ не обращается в ноль ни при каких $x$ (график не пересекает ось $Ox$). * Пересечение с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = \frac{1}{(0 + 3)^2} = \frac{1}{9} $$ Точка пересечения с осью ординат: $\left(0; \frac{1}{9}\right)$. 4. **Промежутки монотонности:** * На промежутке $(-\infty; -3)$ функция возрастает: при увеличении $x$ от $-\infty$ до $-3$ знаменатель по модулю уменьшается, оставаясь положительным, поэтому значения функции неограниченно возрастают. * На промежутке $(-3; +\infty)$ функция убывает: при увеличении $x$ от $-3$ до $+\infty$ знаменатель увеличивается, и значения функции стремятся к нулю. 5. **Асимптоты графика:** * Вертикальная асимптота: прямая $x = -3$ (при $x \to -3$ значения $y \to +\infty$). * Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось $Ox$), так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$. 6. **Симметрия:** График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -3$. --- **2. Геометрическое преобразование:** График функции $y = \frac{1}{(x + 3)^2}$ получается параллельным переносом (сдвигом) графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ вдоль оси абсцисс на $3$ единицы влево. --- **3. Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3{,}5$ | $-3$ | $-2{,}5$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $4$ | не сущ. | $4$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{9}$ | --- **4. Построение графика:** 1. Проводим вертикальную пунктирную прямую $x = -3$ (вертикальная асимптота). 2. Наносим найденные контрольные точки: $(-5; 0{,}25)$, $(-4; 1)$, $(-3{,}5; 4)$, $(-2{,}5; 4)$, $(-2; 1)$, $(-1; 0{,}25)$, $(0; \frac{1}{9})$. 3. Соединяем точки двумя плавными ветвями, расположенными в верхней полуплоскости ($y > 0$), приближающимися к оси $Ox$ при удалении от точки $x = -3$ и уходящими вверх вдоль прямой $x = -3$.