ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / КР-1 / вариант 2 - 5

5. Представим бесконечную периодическую десятичную дробь $0,3(1)$ в виде суммы десятичной дроби и бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$ 0,3(1) = 0,3111\dots = 0,3 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + \dots $$ Запишем слагаемые в виде обыкновенных дробей: $$ 0,3(1) = \frac{3}{10} + \left(\frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + \dots\right) $$ Бесконечная сумма в скобках представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где: - первый член $b_1 = \frac{1}{100}$, - знаменатель $q = \frac{1}{10}$ (так как $|q| < 1$). Найдем сумму этой геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{1}{90} $$ Сложим полученную сумму с непериодической частью: $$ 0,3(1) = \frac{3}{10} + \frac{1}{90} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{90} = \frac{27 + 1}{90} = \frac{28}{90} $$ Сократим полученную дробь на $2$: $$ \frac{28}{90} = \frac{14}{45} $$ Ответ: $\frac{14}{45}$