ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 10

10. 4) Упростим выражение $\sqrt[8]{a^7} : \sqrt[4]{a^{-3}}$ при $a > 0$. Перейдем от арифметических корней к степеням с дробным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$: $$ \sqrt[8]{a^7} = a^{\frac{7}{8}} $$ $$ \sqrt[4]{a^{-3}} = a^{-\frac{3}{4}} $$ При делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$ \sqrt[8]{a^7} : \sqrt[4]{a^{-3}} = a^{\frac{7}{8}} : a^{-\frac{3}{4}} = a^{\frac{7}{8} - \left(-\frac{3}{4}\right)} = a^{\frac{7}{8} + \frac{3}{4}} $$ Приведем дроби в показателе степени к общему знаменателю $8$: $$ \frac{7}{8} + \frac{3}{4} = \frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{13}{8} $$ Таким образом: $$ a^{\frac{13}{8}} = \sqrt[8]{a^{13}} = a\sqrt[8]{a^5} $$ Ответ: $a^{\frac{13}{8}}$ (или $\sqrt[8]{a^{13}}$).