ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 1 - 45

Упростим выражение: $$ \frac{2a\sqrt{1 + x^2}}{x + \sqrt{1 + x^2}} $$ при заданных условиях $a > 0$, $b > 0$ и $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right)$. 1. Преобразуем выражение для $x$: $$ x = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - b}{\sqrt{ab}} = \frac{a - b}{2\sqrt{ab}} $$ 2. Найдем $1 + x^2$: $$ x^2 = \left( \frac{a - b}{2\sqrt{ab}} \right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4ab} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4ab} $$ $$ 1 + x^2 = 1 + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4ab} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{4ab} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4ab} = \frac{(a + b)^2}{4ab} $$ 3. Извлечем квадратный корень из полученного выражения. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то $a + b > 0$: $$ \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{\frac{(a + b)^2}{4ab}} = \frac{|a + b|}{2\sqrt{ab}} = \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} $$ 4. Найдем значение знаменателя: $$ x + \sqrt{1 + x^2} = \frac{a - b}{2\sqrt{ab}} + \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{a - b + a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{2a}{2\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} $$ 5. Найдем значение числителя: $$ 2a\sqrt{1 + x^2} = 2a \cdot \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{a(a + b)}{\sqrt{ab}} $$ 6. Подставим значения числителя и знаменателя в исходную дробь: $$ \frac{2a\sqrt{1 + x^2}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{\frac{a(a + b)}{\sqrt{ab}}}{\frac{a}{\sqrt{ab}}} = \frac{a(a + b)}{\sqrt{ab}} \cdot \frac{\sqrt{ab}}{a} = a + b $$ Ответ: $a + b$