ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 1 - 33

Найдем значение каждого множителя в выражении $\left(a^{2x}+\frac{1}{a^{2x}}\right)\cdot b^{\frac{2x}{3}}$. 1) Преобразуем условие $a^x + \frac{1}{a^x} = 4$, возведя обе части равенства в квадрат: $$ \left(a^x + \frac{1}{a^x}\right)^2 = 4^2 $$ Применим формулу квадрата суммы $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$: $$ (a^x)^2 + 2 \cdot a^x \cdot \frac{1}{a^x} + \left(\frac{1}{a^x}\right)^2 = 16 $$ $$ a^{2x} + 2 + \frac{1}{a^{2x}} = 16 $$ Вычтем $2$ из обеих частей: $$ a^{2x} + \frac{1}{a^{2x}} = 16 - 2 $$ $$ a^{2x} + \frac{1}{a^{2x}} = 14 $$ 2) Преобразуем второй множитель $b^{\frac{2x}{3}}$, используя свойства степени и условие $b^x = 8$: $$ b^{\frac{2x}{3}} = \left(b^x\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 $$ 3) Подставим найденные значения множителей в исходное выражение: $$ \left(a^{2x}+\frac{1}{a^{2x}}\right)\cdot b^{\frac{2x}{3}} = 14 \cdot 4 = 56 $$ Ответ: 56