ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 984

Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. 1) $F(x) = \frac{2}{x}$, $f(x) = -\frac{2}{x^2}$ при $x > 0$. Найдем производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{2}{x^2} $$ Сравним полученную производную с функцией $f(x)$: $$ F'(x) = -\frac{2}{x^2} = f(x) $$ Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x > 0$. Значит, функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ при $x > 0$. 2) $F(x) = 1 + \sqrt{x}$, $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x > 0$. Найдем производную функции $F(x)$, применив правила дифференцирования суммы и табличные производные: $$ F'(x) = (1 + \sqrt{x})' = (1)' + (\sqrt{x})' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Сравним полученную производную с функцией $f(x)$: $$ F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = f(x) $$ Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x > 0$. Значит, функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ при $x > 0$.