ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 887

1) $f(x) = ax^7 + x^3 - 1$. Область определения функции — вся числовая прямая: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (ax^7 + x^3 - 1)' = 7ax^6 + 3x^2 = x^2(7ax^4 + 3) $$ Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений тогда и только тогда, когда при всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $f'(x) \ge 0$: $$ x^2(7ax^4 + 3) \ge 0 $$ Так как $x^2 \ge 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, то при $x = 0$ имеем $f'(0) = 0 \ge 0$. При $x \ne 0$ множитель $x^2 > 0$, следовательно, неравенство равносильно: $$ 7ax^4 + 3 \ge 0 $$ * Если $a \ge 0$, то $7ax^4 \ge 0$ для всех $x$, откуда $7ax^4 + 3 \ge 3 > 0$. Значит, при $a \ge 0$ неравенство $f'(x) \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. * Если $a < 0$, то при достаточно больших по модулю $x$ (например, при $x^4 > -\frac{3}{7a}$) выражение $7ax^4 + 3 < 0$, а значит, неравенство $f'(x) < 0$ будет иметь решения. Таким образом, $a \ge 0$. Ответ: $a \ge 0$. --- 2) $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = (x^5 + ax^3 + 3)' = 5x^4 + 3ax^2 = x^2(5x^2 + 3a) $$ Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда для всех $x \in \mathbb{R}$ справедливо: $$ x^2(5x^2 + 3a) \ge 0 $$ При $x = 0$ получаем $0 \ge 0$, что верно. При $x \ne 0$ имеем $x^2 > 0$, значит, должно выполняться неравенство: $$ 5x^2 + 3a \ge 0 $$ Так как это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$, а наименьшее значение выражения $5x^2$ равно $0$ (при $x \to 0$), то: $$ 3a \ge 0 \implies a \ge 0 $$ При $a \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$ имеем $5x^2 + 3a \ge 0$, следовательно, $f'(x) \ge 0$. Ответ: $a \ge 0$. --- 3) $f(x) = (x + a)\sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$. Производная определена при $x > 0$. Найдем производную: $$ f'(x) = (x + a)'\sqrt{x} + (x + a)(\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + a) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + a}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + a}{2\sqrt{x}} $$ Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений, если при всех $x > 0$ выполняется $f'(x) \ge 0$: $$ \frac{3x + a}{2\sqrt{x}} \ge 0 $$ Так как знаменатель $2\sqrt{x} > 0$ при всех $x > 0$, неравенство сводится к: $$ 3x + a \ge 0 \quad \text{при всех } x > 0 $$ $$ a \ge -3x \quad \text{при всех } x > 0 $$ Значения выражения $-3x$ при $x > 0$ заполняют промежуток $(-\infty; 0)$. Чтобы число $a$ было не меньше любого из этих значений, необходимо и достаточно, чтобы: $$ a \ge 0 $$ Ответ: $a \ge 0$. --- 4) $f(x) = x + \frac{a}{x}$. Область определения функции: $x \ne 0$. Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x + \frac{a}{x}\right)' = 1 - \frac{a}{x^2} = \frac{x^2 - a}{x^2} $$ Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений, если при всех $x \ne 0$ выполняется $f'(x) \ge 0$: $$ \frac{x^2 - a}{x^2} \ge 0 $$ Поскольку $x^2 > 0$ при всех $x \ne 0$, неравенство равносильно: $$ x^2 - a \ge 0 \quad \text{при всех } x \ne 0 $$ $$ a \le x^2 \quad \text{при всех } x \ne 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$ и может принимать сколь угодно малые положительные значения, неравенство $a \le x^2$ будет выполняться для всех допустимых $x$ тогда и только тогда, когда: $$ a \le 0 $$ Ответ: $a \le 0$.