ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 885

Найдем производную функции $f(x) = ax^3 - 6x^2 - x$: $$ f'(x) = (ax^3)' - (6x^2)' - (x)' = 3ax^2 - 12x - 1 $$ По условию требуется, чтобы неравенство $f'(x) \leqslant 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$, то есть: $$ 3ax^2 - 12x - 1 \leqslant 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} $$ Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид: $$-12x - 1 \leqslant 0 \iff x \geqslant -\frac{1}{12}$$ Это неравенство справедливо не для всех $x \in \mathbb{R}$ (например, при $x = -1$ получаем $11 \leqslant 0$ — неверно). Значит, значение $a = 0$ не удовлетворяет условию. 2. Если $a \neq 0$, то выражение $3ax^2 - 12x - 1$ является квадратным трехчленом. Квадратный трехчлен неположителен при всех действительных $x$ тогда и только тогда, когда ветви соответствующей параболы направлены вниз (старший коэффициент меньше нуля), а дискриминант меньше либо равен нулю (график не пересекает ось абсцисс или касается её): $$ \begin{cases} 3a < 0 \\ D \leqslant 0 \end{cases} $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 3a \cdot (-1) = 144 + 12a $$ Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} a < 0 \\ 144 + 12a \leqslant 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a < 0 \\ 12a \leqslant -144 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a < 0 \\ a \leqslant -12 \end{cases} $$ Пересечением решений является промежуток $a \leqslant -12$. Ответ: $a \leqslant -12$ (или $a \in (-\infty; -12]$).