ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 821

В данном задании требуется найти производную каждой из заданных функций, используя правило дифференцирования дроби (частного): $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ --- ### 1) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1}$ Применим формулу производной частного, где $u = 2x^2 - 3x + 1$, а $v = x + 1$: 1. Найдём производные числителя и знаменателя: $u' = (2x^2 - 3x + 1)' = 4x - 3$ $v' = (x + 1)' = 1$ 2. Составим выражение для производной: $$ f'(x) = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ 3. Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ (4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) = 4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x - 1 = 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 4}{(x + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 2x - 2)}{(x + 1)^2} $$ **Ответ:** $\frac{2x^2 + 4x - 4}{(x + 1)^2}$ (или $\frac{2(x^2 + 2x - 2)}{(x + 1)^2}$) --- ### 2) $f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1}$ Применим формулу производной частного, где $u = 3x^2 + 2x - 1$, а $v = 2x + 1$: 1. Найдём производные числителя и знаменателя: $u' = (3x^2 + 2x - 1)' = 6x + 2$ $v' = (2x + 1)' = 2$ 2. Составим выражение для производной: $$ f'(x) = \frac{(6x + 2)(2x + 1) - (3x^2 + 2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} $$ 3. Раскроем скобки в числителе и упростим: $$ (6x + 2)(2x + 1) = 12x^2 + 6x + 4x + 2 = 12x^2 + 10x + 2 $$ $$ 2(3x^2 + 2x - 1) = 6x^2 + 4x - 2 $$ $$ (12x^2 + 10x + 2) - (6x^2 + 4x - 2) = 12x^2 - 6x^2 + 10x - 4x + 2 + 2 = 6x^2 + 6x + 4 $$ $$ f'(x) = \frac{6x^2 + 6x + 4}{(2x + 1)^2} = \frac{2(3x^2 + 3x + 2)}{(2x + 1)^2} $$ **Ответ:** $\frac{6x^2 + 6x + 4}{(2x + 1)^2}$ (или $\frac{2(3x^2 + 3x + 2)}{(2x + 1)^2}$) --- ### 3) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2 - x} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}$ 1. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{2 - x} $$ 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного, где $u = 2\sqrt{x}$, а $v = 2 - x$: $u' = (2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ $v' = (2 - x)' = -1$ 3. Подставим в формулу производной: $$ f'(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (2 - x) - 2\sqrt{x} \cdot (-1)}{(2 - x)^2} = \frac{\frac{2 - x}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}}{(2 - x)^2} $$ 4. Приведём числитель к общему знаменателю: $$ \frac{2 - x}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} = \frac{2 - x + 2(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \frac{2 - x + 2x}{\sqrt{x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x}} $$ 5. Окончательно получаем: $$ f'(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x}(2 - x)^2} $$ *(Примечание: если в условии опечатка и исходная функция имела вид $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2 - x}$, то её производная равна $\frac{x + 2}{2\sqrt{x}(2 - x)^2}$.)* **Ответ:** $\frac{x + 2}{\sqrt{x}(2 - x)^2}$