ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 820

Найдем производную каждой из данных функций, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. 1) Пусть $y = (2x - 3)^5 (3x^2 + 2x + 1)$. Применим формулу производной произведения: $$ y' = ((2x - 3)^5)' \cdot (3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)^5 \cdot (3x^2 + 2x + 1)' $$ Найдем производные каждого сомножителя: - $((2x - 3)^5)' = 5(2x - 3)^4 \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$; - $(3x^2 + 2x + 1)' = 6x + 2 = 2(3x + 1)$. Подставим полученные выражения: $$ y' = 10(2x - 3)^4 (3x^2 + 2x + 1) + 2(2x - 3)^5 (3x + 1) $$ Вынесем общий множитель $2(2x - 3)^4$ за скобки: $$ y' = 2(2x - 3)^4 [5(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(3x + 1)] $$ Раскроем скобки внутри квадратных скобок и приведем подобные слагаемые: $$ 5(3x^2 + 2x + 1) + (2x - 3)(3x + 1) = 15x^2 + 10x + 5 + 6x^2 + 2x - 9x - 3 = 21x^2 + 3x + 2 $$ Получаем: $$ y' = 2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2) $$ Ответ: $2(2x - 3)^4 (21x^2 + 3x + 2)$. --- 2) Пусть $y = (x - 1)^4 (x + 1)^7$. Применим формулу производной произведения: $$ y' = ((x - 1)^4)' \cdot (x + 1)^7 + (x - 1)^4 \cdot ((x + 1)^7)' $$ Найдем производные сомножителей: - $((x - 1)^4)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = 4(x - 1)^3$; - $((x + 1)^7)' = 7(x + 1)^6 \cdot (x + 1)' = 7(x + 1)^6$. Подставим найденные производные: $$ y' = 4(x - 1)^3 (x + 1)^7 + 7(x - 1)^4 (x + 1)^6 $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)^3 (x + 1)^6$ за скобки: $$ y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 [4(x + 1) + 7(x - 1)] $$ Упростим выражение в квадратных скобках: $$ 4(x + 1) + 7(x - 1) = 4x + 4 + 7x - 7 = 11x - 3 $$ Получаем: $$ y' = (x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3) $$ Ответ: $(x - 1)^3 (x + 1)^6 (11x - 3)$. --- 3) Пусть $y = \sqrt[4]{3x + 2} \cdot (3x - 1)^4 = (3x + 2)^{\frac{1}{4}} (3x - 1)^4$. Применим формулу производной произведения: $$ y' = \left((3x + 2)^{\frac{1}{4}}\right)' \cdot (3x - 1)^4 + (3x + 2)^{\frac{1}{4}} \cdot ((3x - 1)^4)' $$ Найдем производные сомножителей: - $\left((3x + 2)^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}(3x + 2)^{-\frac{3}{4}} \cdot (3x + 2)' = \frac{3}{4(3x + 2)^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$; - $((3x - 1)^4)' = 4(3x - 1)^3 \cdot (3x - 1)' = 4(3x - 1)^3 \cdot 3 = 12(3x - 1)^3$. Подставим полученные выражения: $$ y' = \frac{3(3x - 1)^4}{4(3x + 2)^{\frac{3}{4}}} + 12(3x + 2)^{\frac{1}{4}} (3x - 1)^3 $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $4(3x + 2)^{\frac{3}{4}}$: $$ y' = \frac{3(3x - 1)^4 + 48(3x + 2)^{\frac{1}{4}} \cdot (3x + 2)^{\frac{3}{4}} (3x - 1)^3}{4(3x + 2)^{\frac{3}{4}}} $$ Так как $(3x + 2)^{\frac{1}{4}} \cdot (3x + 2)^{\frac{3}{4}} = 3x + 2$, имеем: $$ y' = \frac{3(3x - 1)^4 + 48(3x + 2)(3x - 1)^3}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}} $$ Вынесем в числителе общий множитель $3(3x - 1)^3$: $$ y' = \frac{3(3x - 1)^3 [(3x - 1) + 16(3x + 2)]}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}} $$ Упростим выражение в квадратных скобках: $$ (3x - 1) + 16(3x + 2) = 3x - 1 + 48x + 32 = 51x + 31 $$ Получаем: $$ y' = \frac{3(3x - 1)^3 (51x + 31)}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}} $$ Ответ: $\frac{3(3x - 1)^3 (51x + 31)}{4\sqrt[4]{(3x + 2)^3}}$. --- 4) Пусть $y = \sqrt[3]{2x + 1} \cdot (2x - 3)^3 = (2x + 1)^{\frac{1}{3}} (2x - 3)^3$. Применим формулу производной произведения: $$ y' = \left((2x + 1)^{\frac{1}{3}}\right)' \cdot (2x - 3)^3 + (2x + 1)^{\frac{1}{3}} \cdot ((2x - 3)^3)' $$ Найдем производные сомножителей: - $\left((2x + 1)^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}(2x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{3(2x + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$; - $((2x - 3)^3)' = 3(2x - 3)^2 \cdot (2x - 3)' = 3(2x - 3)^2 \cdot 2 = 6(2x - 3)^2$. Подставим полученные выражения: $$ y' = \frac{2(2x - 3)^3}{3(2x + 1)^{\frac{2}{3}}} + 6(2x + 1)^{\frac{1}{3}} (2x - 3)^2 $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $3(2x + 1)^{\frac{2}{3}}$: $$ y' = \frac{2(2x - 3)^3 + 18(2x + 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (2x + 1)^{\frac{2}{3}} (2x - 3)^2}{3(2x + 1)^{\frac{2}{3}}} $$ Так как $(2x + 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (2x + 1)^{\frac{2}{3}} = 2x + 1$, получаем: $$ y' = \frac{2(2x - 3)^3 + 18(2x + 1)(2x - 3)^2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} $$ Вынесем в числителе общий множитель $2(2x - 3)^2$: $$ y' = \frac{2(2x - 3)^2 [(2x - 3) + 9(2x + 1)]}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} $$ Упростим выражение в квадратных скобках: $$ (2x - 3) + 9(2x + 1) = 2x - 3 + 18x + 9 = 20x + 6 = 2(10x + 3) $$ Окончательно: $$ y' = \frac{4(2x - 3)^2 (10x + 3)}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}} $$ Ответ: $\frac{4(2x - 3)^2 (10x + 3)}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$.