ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 815

1) Дана функция: $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} $$ Для нахождения производной применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ Так как $(x^2 - 1)' = 2x$ и $(x^2 + 1)' = 2x$, получаем: $$ f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 $$ 2) Дана функция: $$ f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x} $$ Применим правило дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(2x^2)'(1 - 7x) - 2x^2(1 - 7x)'}{(1 - 7x)^2} $$ Так как $(2x^2)' = 4x$ и $(1 - 7x)' = -7$, получаем: $$ f'(x) = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2 \cdot (-7)}{(1 - 7x)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ f'(x) = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{4 \cdot 1 - 14 \cdot 1^2}{(1 - 7 \cdot 1)^2} = \frac{4 - 14}{(1 - 7)^2} = \frac{-10}{(-6)^2} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18} $$ Ответ: 1) $f'(1) = 1$; 2) $f'(1) = -\frac{5}{18}$.