ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 764

**1)** $\cos x = x^2$ Для нахождения числа корней уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x^2$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения этих графиков. 1. График функции $y = \cos x$ — косинусоида с областью значений $[-1; 1]$. 2. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вверх. 3. Так как для любого $x$ справедливо неравенство $|\cos x| \le 1$, то точки пересечения графиков могут находиться только там, где $x^2 \le 1$, то есть на отрезке $[-1; 1]$. 4. Обе функции являются четными: $$ \cos(-x) = \cos x, \quad (-x)^2 = x^2 $$ Поэтому их графики симметричны относительно оси ординат $Oy$. 5. Исследуем поведение функций при $x \ge 0$: - При $x = 0$: $\cos 0 = 1$, а $0^2 = 0$, следовательно, график косинуса лежит выше параболы ($1 > 0$). - При $x = 1$: $\cos 1 \approx 0{,}54$, а $1^2 = 1$, следовательно, парабола лежит выше косинусоиды ($1 > \cos 1$). - Обе функции непрерывны, значит, на интервале $(0; 1)$ графики пересекаются ровно в одной точке. 6. В силу симметрии относительно оси $Oy$, на интервале $(-1; 0)$ существует вторая точка пересечения. Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения, а значит, уравнение имеет 2 корня. **Ответ:** 2 корня. --- **2)** $\sin x = \frac{x}{2}$ Для нахождения числа корней уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = \frac{x}{2}$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения синусоиды и прямой. 1. Так как $|\sin x| \le 1$, точки пересечения возможны только при условии: $$ \left|\frac{x}{2}\right| \le 1 \implies |x| \le 2 $$ При $|x| > 2$ прямая лежит выше $1$ или ниже $-1$, поэтому других пересечений быть не может. 2. Обе функции являются нечетными: $$ \sin(-x) = -\sin x, \quad \frac{-x}{2} = -\frac{x}{2} $$ Поэтому их графики симметричны относительно начала координат $(0; 0)$. 3. При $x = 0$: $\sin 0 = 0$ и $\frac{0}{2} = 0$. Точка $(0; 0)$ является первой точкой пересечения (корень $x = 0$). 4. Исследуем поведение функций при $x > 0$ на промежутке $(0; 2]$: - При $x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, а $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79$. Здесь $\sin x > \frac{x}{2}$. - При $x = 2$: $\frac{x}{2} = 1$, а $\sin 2 < 1$. Здесь $\frac{x}{2} > \sin x$. - Так как функции непрерывны, на интервале $\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$ графики пересекаются ровно в одной точке. 5. В силу симметрии относительно начала координат, на интервале $\left(-2; -\frac{\pi}{2}\right)$ существует симметричная точка пересечения. Всего графики имеют 3 точки пересечения: одна при $x < 0$, одна в точке $x = 0$ и одна при $x > 0$. Следовательно, уравнение имеет 3 корня. **Ответ:** 3 корня.