ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 763

### 1) $1 + 2 \cos x \geq 0$ Преобразуем неравенство: $$ 2 \cos x \geq -1 \iff \cos x \geq -\frac{1}{2} $$ Рассмотрим поведение функции $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$: * На всём отрезке $[-2\pi; -\pi]$ аргумент $x$ пробегает значения от $-2\pi$ до $-\pi$, при этом $\sin x > 0$ на интервале $(-2\pi; -\pi)$, следовательно, функция $\cos x$ строго убывает от $\cos(-2\pi) = 1$ до $\cos(-\pi) = -1$. * Найдём точку, в которой косинус равен $-\frac{1}{2}$: $$ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = -2\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} $$ Так как функция убывает, условие $\cos x \geq -\frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$ от начальной точки промежутка до точки $-\frac{4\pi}{3}$ включительно: $$ x \in \left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right] $$ **Ответ:** $\left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$ --- ### 2) $1 - 2 \sin x < 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2 \sin x < -1 \iff \sin x > \frac{1}{2} $$ Найдём значения $x \in [-2\pi; -\pi]$, при которых $\sin x = \frac{1}{2}$: $$ x_1 = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} $$ $$ x_2 = -2\pi + \frac{5\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} $$ На отрезке $[-2\pi; -\pi]$: * При $x \in \left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ синус возрастает от $0$ до $1$, принимая значение $\frac{1}{2}$ в точке $-\frac{11\pi}{6}$. * При $x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right]$ синус убывает от $1$ до $0$, принимая значение $\frac{1}{2}$ в точке $-\frac{7\pi}{6}$. Значения синуса строго больше $\frac{1}{2}$ лежат между этими точками: $$ x \in \left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right) $$ **Ответ:** $\left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right)$ --- ### 3) $2 + \tan^2 x > 0$ Для любого действительного значения $x$ из области определения тангенса квадрат тангенса неотрицателен: $\tan^2 x \geq 0$. Следовательно: $$ 2 + \tan^2 x \geq 2 > 0 $$ Неравенство выполняется при всех $x$, при которых функция $\tan x$ определена. Тангенс не определён в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ такой точкой является только: $$ x = -\frac{3\pi}{2} $$ Исключая точку разрыва из отрезка $[-2\pi; -\pi]$, получаем: $$ x \in \left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right] $$ *(Примечание: если в условии опечатка и неравенство имеет вид $2 + \tan x > 0 \iff \tan x > -2$, то на промежутке $\left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right)$ тангенс неотрицателен, а на $\left(-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right]$ условие выполняется при $x > -\pi - \operatorname{arctg} 2$, что даёт решение $\left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\pi]$).* **Ответ:** $\left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right]$ --- ### 4) $1 - 2 \tan x \leq 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2 \tan x \leq -1 \iff \tan x \geq \frac{1}{2} $$ Область определения тангенса на отрезке $[-2\pi; -\pi]$: $x \neq -\frac{3\pi}{2}$. Разобьём отрезок на два промежутка: 1. На промежутке $\left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right)$ тангенс монотонно возрастает от $\tan(-2\pi) = 0$ до $+\infty$. Уравнение $\tan x = \frac{1}{2}$ на этом промежутке имеет корень: $$ x = -2\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $$ Так как функция возрастает, неравенство $\tan x \geq \frac{1}{2}$ выполняется при: $$ x \in \left[-2\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{2}; -\frac{3\pi}{2}\right) $$ 2. На промежутке $\left(-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right]$ аргумент лежит во II четверти единичной окружности, где $\tan x \leq 0$. Значит, на этом промежутке неравенство $\tan x \geq \frac{1}{2}$ решений не имеет. **Ответ:** $\left[-2\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{2}; -\frac{3\pi}{2}\right)$