ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 746

### 1) Построение графика функции $y = \operatorname{tg}|x|$ 1. **Область определения:** Функция тангенса не определена там, где её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $$|x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. **Чётность функции:** $$y(-x) = \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| = y(x)$$ Функция является чётной, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Схема построения:** - При $x \ge 0$ (из области определения) функция имеет вид $y = \operatorname{tg} x$. Строим ветви тангенсоиды в правой полуплоскости ($x \ge 0$). - Часть графика при $x < 0$ получаем симметричным отражением построенной правой части относительно оси $Oy$. 4. **Опорные элементы графика:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = \pm \frac{\pi}{2}$, $x = \pm \frac{3\pi}{2}$, $x = \pm \frac{5\pi}{2}$, ... (в общем виде $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$). - Нули функции (пересечения с осью $Ox$): $x = 0$, $x = \pm\pi$, $x = \pm 2\pi$, ... - Контрольные точки: $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; -1\right)$, $\left(-\frac{3\pi}{4}; -1\right)$. --- ### 2) Построение графика функции $y = |\operatorname{tg} x|$ 1. **Область определения:** $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. **Периодичность и множество значений:** - Функция периодическая с периодом $T = \pi$. - Так как значение функции заключено под знаком модуля, $y \ge 0$. Множество значений: $[0; +\infty)$. - Функция чётная: $y(-x) = |\operatorname{tg}(-x)| = |-\operatorname{tg} x| = |\operatorname{tg} x| = y(x)$. 3. **Схема построения (геометрическое преобразование):** - Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$. - Все части графика, расположенные на оси $Ox$ и выше неё (где $\operatorname{tg} x \ge 0$), оставляем без изменений. - Части графика, лежащие ниже оси $Ox$ (где $\operatorname{tg} x < 0$), зеркально отражаем вверх относительно оси $Ox$. 4. **Опорные элементы графика:** - Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Точки излома (нули функции на оси $Ox$): $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Ветви графика на каждом интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$ направлены вверх («рожки» или чаши с вершиной на оси $Ox$). - Контрольные точки: $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $(\pi; 0)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{5\pi}{4}; 1\right)$. --- ### 3) Построение графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ 1. **Свойства функции:** - Область определения: $\sin x \neq 0 \iff x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Множество значений: $\mathbb{R}$ (все действительные числа). - Периодичность: периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. - Нечётность: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ (график симметричен относительно начала координат). - Монотонность: функция убывает на каждом интервале области определения $(\pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$. 2. **Схема построения:** - Строим основную ветвь на интервале $(0; \pi)$: - Вертикальные асимптоты: $x = 0$ (ось $Oy$) и $x = \pi$. - Точка пересечения с осью $Ox$: $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. - Дополнительные точки: $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; -1\right)$. - График плавно убывает от $+\infty$ при приближении к $x = 0$ справа до $-\infty$ при приближении к $x = \pi$ слева. - Повторяем построенную ветвь с шагом $\pi$ влево и вправо вдоль оси $Ox$. 3. **Опорные элементы графика:** - Вертикальные асимптоты: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. --- ### 4) Построение графика функции $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$ 1. **Область определения:** Для существования выражения должны выполняться два условия: - Сам котангенс определён: $\sin x \neq 0 \iff x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Знаменатель дроби не равен нулю: $\operatorname{ctg} x \neq 0 \iff \cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя оба условия: $$x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. **Упрощение функции:** При допустимых значениях $x$: $$y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = \operatorname{tg} x$$ 3. **Схема построения:** - График представляет собой тангенсоиду $y = \operatorname{tg} x$, из которой исключены (выколоты) точки, где $\operatorname{ctg} x$ не существует. - Так как $\operatorname{ctg} x$ не определён при $x = \pi k$, в точках $(\pi k; 0)$ на графике образуются «выколотые» точки. - В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не существует, а $\operatorname{ctg} x = 0$ — прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ остаются вертикальными асимптотами. 4. **Опорные элементы графика:** - Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. - Выколотые точки на оси $Ox$: $(\pi k; 0), k \in \mathbb{Z}$ (в частности: $(0; 0)$, $(\pi; 0)$, $(-\pi; 0)$). - Контрольные точки: $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$, $\left(\frac{5\pi}{4}; 1\right)$.