ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 745

1) Промежуток $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$ целиком содержится в интервале непрерывности $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, на котором функция $y = \operatorname{tg} x$ непрерывна и строго возрастает. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 $$ $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $$ Так как функция возрастает и непрерывна на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$, множеством её значений является отрезок $[-1; \sqrt{3}]$. **Ответ:** $[-1; \sqrt{3}]$. --- 2) Промежуток $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$ целиком лежит внутри интервала $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$, где функция $y = \operatorname{tg} x$ непрерывна и строго возрастает. Определим поведение функции на границах интервала: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 $$ При $x \to \frac{3\pi}{2} - 0$ (стремлении к правой границе слева) аргумент приближается к вертикальной асимптоте, и значения функции неограниченно возрастают: $\operatorname{tg} x \to +\infty$. Следовательно, множеством значений функции является интервал $(-1; +\infty)$. **Ответ:** $(-1; +\infty)$. --- 3) Внутри интервала $(0; \pi)$ находится точка $x = \frac{\pi}{2}$, в которой функция $y = \operatorname{tg} x$ не определена. Разобьем промежуток на два интервала непрерывности: $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. * На интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ функция строго возрастает от $\operatorname{tg} 0 = 0$ до $+\infty$, то есть принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$. * На интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ функция строго возрастает от $-\infty$ до $\operatorname{tg} \pi = 0$, то есть принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$. Объединяя полученные множества, получаем: $$ (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. --- 4) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$ содержится точка $x = \frac{\pi}{2}$, в которой тангенс не существует. Область определения функции на данном отрезке разбивается на две части: $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$. * На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$ функция возрастает от $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ до $+\infty$, принимая значения из промежутка $[1; +\infty)$. * На полуинтервале $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$ функция возрастает от $-\infty$ до $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$, принимая значения из промежутка $(-\infty; -1]$. Объединяя найденные значения, получаем: $$ (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.