ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 730

1) Рассмотрим функцию $y = \sin x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$. Отрезок содержит точку максимума $x = \frac{\pi}{2}$. Исследуем поведение функции на заданном промежутке: - На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция возрастает от $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ до $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. - На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ функция убывает от $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ до $\sin\pi = 0$. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$ $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$ $$ \sin\pi = 0 $$ Наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, а наибольшее значение равно $1$. В силу непрерывности функции $y = \sin x$, её множество значений на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$ — это отрезок $[0; 1]$. 2) Рассмотрим функцию $y = \sin x$ на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$. Данный отрезок целиком лежит внутри промежутка $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, на котором функция $y = \sin x$ монотонно убывает. Так как функция убывает на всём отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$, она принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом: $$ y_{\text{наиб}} = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y_{\text{наим}} = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Следовательно, множеством значений функции на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$ является отрезок $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$. **Ответ:** 1) $[0; 1]$; 2) $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$.