ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 692

**1)** $y = 1 + \sin x$ Так как область значений функции синуса есть отрезок $[-1; 1]$, то: $$ -1 \le \sin x \le 1 $$ Прибавим ко всем частям двойного неравенства $1$: $$ -1 + 1 \le 1 + \sin x \le 1 + 1 $$ $$ 0 \le y \le 2 $$ Значит, множество значений функции — отрезок $[0; 2]$. Ответ: $E(y) = [0; 2]$. --- **2)** $y = 1 - \cos x$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, умножим неравенство на $-1$ (при этом знаки неравенства меняются на противоположные): $$ 1 \ge -\cos x \ge -1 $$ $$ -1 \le -\cos x \le 1 $$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $$ 1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 $$ $$ 0 \le y \le 2 $$ Ответ: $E(y) = [0; 2]$. --- **3)** $y = 2 \sin x + 3$ Известно, что: $$ -1 \le \sin x \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $2$: $$ -2 \le 2\sin x \le 2 $$ Прибавим $3$: $$ -2 + 3 \le 2\sin x + 3 \le 2 + 3 $$ $$ 1 \le y \le 5 $$ Ответ: $E(y) = [1; 5]$. --- **4)** $y = 1 - 4 \cos 2x$ Для любого значения аргумента косинус принимает значения от $-1$ до $1$: $$ -1 \le \cos 2x \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $-4$: $$ 4 \ge -4\cos 2x \ge -4 $$ $$ -4 \le -4\cos 2x \le 4 $$ Прибавим $1$: $$ 1 - 4 \le 1 - 4\cos 2x \le 1 + 4 $$ $$ -3 \le y \le 5 $$ Ответ: $E(y) = [-3; 5]$. --- **5)** $y = \sin 2x \cos 2x + 2$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$: $$ y = \frac{1}{2}\sin 4x + 2 $$ Так как $-1 \le \sin 4x \le 1$, умножим неравенство на $\frac{1}{2}$: $$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x \le \frac{1}{2} $$ Прибавим $2$: $$ 2 - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x + 2 \le 2 + \frac{1}{2} $$ $$ 1{,}5 \le y \le 2{,}5 $$ Ответ: $E(y) = [1{,}5; 2{,}5]$. --- **6)** $y = \frac{1}{2} \sin x \cos x - 1$ Используем формулу $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$: $$ y = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) - 1 = \frac{1}{4}\sin 2x - 1 $$ Так как $-1 \le \sin 2x \le 1$, умножим неравенство на $\frac{1}{4}$: $$ -\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x \le \frac{1}{4} $$ Вычтем $1$ из всех частей неравенства: $$ -\frac{1}{4} - 1 \le \frac{1}{4}\sin 2x - 1 \le \frac{1}{4} - 1 $$ $$ -1{,}25 \le y \le -0{,}75 $$ Ответ: $E(y) = [-1{,}25; -0{,}75]$.