ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 657

**1)** Решим уравнение: $$ 2 \sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0 $$ Выразим синус: $$ 2 \sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 $$ $$ \sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{2} $$ Используем общую формулу корней уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$: $t = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем: $$ 3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $$ Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения: $$ 3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 1 - \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 0 $$ Выразим синус: $$ \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1 $$ Для частного случая $\sin t = 1$ формула корней имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть: $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $$ $$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n $$ $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$. --- **3)** Решим уравнение: $$ 3 + 4 \sin (2x + 1) = 0 $$ Выразим синус: $$ 4 \sin (2x + 1) = -3 $$ $$ \sin (2x + 1) = -\frac{3}{4} $$ Так как $\left| -\frac{3}{4} \right| \le 1$, корни существуют. Запишем решение через арксинус: $$ 2x + 1 = (-1)^n \arcsin \left( -\frac{3}{4} \right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin a$: $$ 2x + 1 = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{3}{4} + \pi n $$ Вычтем $1$ из обеих частей: $$ 2x = -1 + (-1)^{n+1} \arcsin \frac{3}{4} + \pi n $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = -\frac{1}{2} + \frac{(-1)^{n+1}}{2} \arcsin \frac{3}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{1}{2} + \frac{(-1)^{n+1}}{2} \arcsin \frac{3}{4} + \frac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}$. --- **4)** Решим уравнение: $$ 5 \sin (2x - 1) - 2 = 0 $$ Выразим синус: $$ 5 \sin (2x - 1) = 2 $$ $$ \sin (2x - 1) = \frac{2}{5} $$ Так как $\left| \frac{2}{5} \right| \le 1$, по формуле корней получаем: $$ 2x - 1 = (-1)^n \arcsin \frac{2}{5} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $1$ к обеим частям уравнения: $$ 2x = 1 + (-1)^n \arcsin \frac{2}{5} + \pi n $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}$.