ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 656

### 1) $\cos(4 - 2x) = -\frac{1}{2}$ Так как функция косинус чётная, то есть $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, запишем уравнение в виде: $$ \cos(2x - 4) = -\frac{1}{2} $$ По формуле корней уравнения $\cos t = a$: $$ 2x - 4 = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычислим арккосинус: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. $$ 2x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $4$ к обеим частям: $$ 2x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2) $\cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Используем общую формулу корней: $$ 6 + 3x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, получаем: $$ 3x + 6 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем $6$ из обеих частей: $$ 3x = -6 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $3$: $$ x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 3) $\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$ Перенесём слагаемое без переменной в правую часть: $$ \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ По формуле корней: $$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим два случая: 1) $2x = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\pi + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 4) $2 \cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) - \sqrt{3} = 0$ Перенесём слагаемое $\sqrt{3}$ в правую часть: $$ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \sqrt{3} $$ Разделим на $2$ и воспользуемся чётностью косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$: $$ \cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ По формуле корней: $$ 3x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим два случая: 1) $3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \quad x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.