ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 647

Преобразуем левую часть уравнения: $$ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = a $$ Используем формулы понижения степени и синуса двойного угла: $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$ $$ \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} $$ Подставим эти выражения в исходное уравнение: $$ \frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{\sin 2x}{2} - 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = a $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{1 - \cos 2x - \sin 2x - 2 - 2 \cos 2x}{2} = a $$ $$ \frac{-1 - 3 \cos 2x - \sin 2x}{2} = a $$ $$ -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = a $$ Найдем область значений выражения в левой части уравнения. Для выражения вида $A \cos 2x + B \sin 2x$ множество значений составляет отрезок $[-\sqrt{A^2 + B^2}; \sqrt{A^2 + B^2}]$. В данном случае $A = -\frac{3}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$: $$ \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $$ Следовательно: $$ -\frac{\sqrt{10}}{2} \le -\frac{3}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{\sqrt{10}}{2} $$ Прибавим $-\frac{1}{2}$ ко всем частям двойного неравенства: $$ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2} \le -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x \le -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2} $$ $$ \frac{-1 - \sqrt{10}}{2} \le \sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x \le \frac{-1 + \sqrt{10}}{2} $$ Уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда параметр $a$ принадлежит множеству значений левой части, то есть $a \in \left[\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right]$. Значит, уравнение не имеет корней, если значение $a$ не принадлежит этому отрезку: $$ a < \frac{-1 - \sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad a > \frac{-1 + \sqrt{10}}{2} $$ Ответ: $a \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{2}; +\infty\right)$.