ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 644

**1)** Решим уравнение: $$ 4 |\cos x| + 3 = 4 \sin^2 x $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 4 |\cos x| + 3 = 4(1 - \cos^2 x) $$ $$ 4 |\cos x| + 3 = 4 - 4\cos^2 x $$ Так как $\cos^2 x = |\cos x|^2$, перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 4|\cos x|^2 + 4|\cos x| - 1 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = |\cos x|$, где $0 \le t \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 + 4t - 1 = 0 $$ Найдём корни уравнения через дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ $$ t_1 = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = -\frac{\sqrt{2} + 1}{2} $$ Корень $t_2 < 0$, что не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$. Корень $t_1 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \approx \frac{1{,}41 - 1}{2} \approx 0{,}205$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$. Вернёмся к замене: $$ |\cos x| = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} $$ Отсюда получаем два уравнения: $\cos x = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ или $\cos x = -\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$. 1. $\cos x = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \implies x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; 2. $\cos x = -\frac{\sqrt{2} - 1}{2} \implies x = \pm \left(\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right)\right) + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Объединяя обе серии корней, получаем: $$ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ |\operatorname{tg} x| + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} $$ Область допустимых значений: $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$: $$ |\operatorname{tg} x| + 1 = 1 + \operatorname{tg}^2 x $$ Вычтем $1$ из обеих частей уравнения: $$ |\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg}^2 x $$ Так как $\operatorname{tg}^2 x = |\operatorname{tg} x|^2$, перенесём слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель: $$ |\operatorname{tg} x|^2 - |\operatorname{tg} x| = 0 $$ $$ |\operatorname{tg} x|(|\operatorname{tg} x| - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $|\operatorname{tg} x| = 0 \implies \operatorname{tg} x = 0$: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $|\operatorname{tg} x| - 1 = 0 \implies |\operatorname{tg} x| = 1 \implies \operatorname{tg} x = \pm 1$: $$ x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ ($\cos x \ne 0$). Серию $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$ можно записать в виде $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}$.