ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 640

### 1) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x$ Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ к каждому слагаемому: $$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x = 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x $$ $$ \cos 2x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 8x $$ Сгруппируем слагаемые, перенеся их в левую часть: $$ (\cos 2x - \cos 8x) + (\cos 4x - \cos 6x) = 0 $$ Используем формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} = 2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\beta - \alpha}{2}$: $$ 2 \sin \frac{2x + 8x}{2} \sin \frac{8x - 2x}{2} + 2 \sin \frac{4x + 6x}{2} \sin \frac{6x - 4x}{2} = 0 $$ $$ 2 \sin 5x \sin 3x + 2 \sin 5x \sin x = 0 $$ Вынесем общий множитель $2 \sin 5x$ за скобки: $$ 2 \sin 5x (\sin 3x + \sin x) = 0 $$ Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \sin 5x \cdot 2 \sin 2x \cos x = 0 $$ $$ 4 \sin 5x \sin 2x \cos x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\sin 5x = 0$ $$ 5x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2. $\sin 2x = 0$ $$ 2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что корни серии $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi m$ содержатся в серии $x = \dfrac{\pi k}{2}$ (при нечётных значениях $k$). **Ответ:** $x = \dfrac{\pi n}{5}, \; n \in \mathbb{Z}$; $x = \dfrac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2) $\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4}$ Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, приняв $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$: $$ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) $$ Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, преобразуем вторую скобку, выделив полный квадрат: $$ \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $$ По формуле синуса двойного угла $\sin x \cos x = \dfrac{1}{2} \sin 2x$, следовательно: $$ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x $$ Подставим это выражение в левую часть уравнения: $$ 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4} $$ Перенесем слагаемые: $$ \frac{3}{4} \sin^2 2x = 1 - \frac{1}{4} $$ $$ \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{3}{4} $$ $$ \sin^2 2x = 1 $$ Отсюда следует: $$ \sin 2x = 1 \quad \text{или} \quad \sin 2x = -1 $$ Объединяя оба случая, получаем: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$.