ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 638

### Номер 638 **1)** Решим уравнение: $$ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ к слагаемым $\sin^2 x$ и $\sin^2 3x$: $$ \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 6x}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 1 - \cos 2x + 2\sin^2 2x = 1 - \cos 6x $$ $$ \cos 6x - \cos 2x + 2\sin^2 2x = 0 $$ Преобразуем разность косинусов в произведение по формуле $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2}\sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}$: $$ -2\sin 4x \sin 2x + 2\sin^2 2x = 0 $$ Разделим обе части на $-2$: $$ \sin 4x \sin 2x - \sin^2 2x = 0 $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$: $$ 2\sin 2x \cos 2x \sin 2x - \sin^2 2x = 0 $$ $$ 2\sin^2 2x \cos 2x - \sin^2 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin^2 2x$ за скобки: $$ \sin^2 2x (2\cos 2x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin^2 2x = 0 \implies \sin 2x = 0$ $$ 2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к пункту 1:** $x = \dfrac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \sin x (1 - \cos x)^2 + \cos x (1 - \sin x)^2 = 2 $$ Раскроем квадраты разностей в скобках: $$ \sin x (1 - 2\cos x + \cos^2 x) + \cos x (1 - 2\sin x + \sin^2 x) = 2 $$ $$ \sin x - 2\sin x \cos x + \sin x \cos^2 x + \cos x - 2\sin x \cos x + \cos x \sin^2 x = 2 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (\sin x + \cos x) - 4\sin x \cos x + \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = 2 $$ Пусть $t = \sin x + \cos x$. Возведём обе части этой замены в квадрат: $$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x $$ Отсюда выразим произведение: $$ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $$ При этом для суммы $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ выполняется ограничение $|t| \le \sqrt{2}$, то есть $t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Подставим $t$ и $\sin x \cos x$ в уравнение: $$ t - 4\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) + \left(\frac{t^2 - 1}{2}\right)t = 2 $$ $$ t - 2(t^2 - 1) + \frac{t^3 - t}{2} = 2 $$ $$ t - 2t^2 + 2 + \frac{t^3 - t}{2} = 2 $$ Вычтем $2$ из обеих частей и умножим на $2$: $$ 2t - 4t^2 + t^3 - t = 0 $$ $$ t^3 - 4t^2 + t = 0 $$ Вынесем $t$ за скобки: $$ t(t^2 - 4t + 1) = 0 $$ Получаем: 1) $t = 0$ 2) $t^2 - 4t + 1 = 0$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$ $$ t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$ Оценим полученные корни: $2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73 > \sqrt{2}$; $2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27$, однако проверим: $(2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3} \approx 7 - 6{,}928 = 0{,}072 < 2$, значит, $2 - \sqrt{3} \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, получаем $2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268 \le \sqrt{2} \approx 1{,}414$. Следовательно, подходят два значения переменной $t$: 1) $t = 0$: $$ \sin x + \cos x = 0 $$ Разделим обе части на $\cos x \neq 0$: $$ \operatorname{tg} x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $t = 2 - \sqrt{3}$: $$ \sin x + \cos x = 2 - \sqrt{3} $$ Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла: $$ \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) = 2 - \sqrt{3} $$ $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2 - \sqrt{3} $$ $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$ $$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к пункту 2:** $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\dfrac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\dfrac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.