ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 564

Докажем тождество: $$ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} = \tan 3\alpha $$ Преобразуем левую часть тождества. Для этого сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе: $$ \frac{(\sin 5\alpha + \sin \alpha) + \sin 3\alpha}{(\cos 5\alpha + \cos \alpha) + \cos 3\alpha} $$ Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ к числителю: $$ \sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ к знаменателю: $$ \cos 5\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} $$ Вынесем общий множитель $\sin 3\alpha$ в числителе и $\cos 3\alpha$ в знаменателе: $$ \frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(2 \cos 2\alpha + 1)$: $$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha $$ Получили, что левая часть равна правой: $$ \tan 3\alpha = \tan 3\alpha $$ Тождество доказано.