ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 563

**1)** Докажем тождество: $$ \sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) $$ Преобразуем правую часть равенства, применив формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) $$ Раскроем скобки: $$ = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta - 2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta $$ Сгруппируем слагаемые, представив $-2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta$ в виде $-\sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta$: $$ = (\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta) + (\sin^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta) + 2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ = \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) + \sin^2 \beta (1 - \sin^2 \alpha) + 2 (\sin \alpha \cos \beta) (\cos \alpha \sin \beta) $$ Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, получаем: $$ = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cos^2 \alpha + 2 (\sin \alpha \cos \beta) (\cos \alpha \sin \beta) $$ Полученное выражение представляет собой формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, где $a = \sin \alpha \cos \beta$, а $b = \cos \alpha \sin \beta$: $$ = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 $$ По формуле синуса суммы $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta)$, следовательно: $$ = (\sin(\alpha + \beta))^2 = \sin^2(\alpha + \beta) $$ Левая и правая части равны, тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \sin \alpha + 2 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha $$ Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $$ (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + 2 \sin 3\alpha $$ Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$: $$ \sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha $$ Подставим полученный результат в левую часть: $$ 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + 2 \sin 3\alpha $$ Вынесем общий множитель $2 \sin 3\alpha$ за скобки: $$ = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha + 1) $$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, откуда $\cos 2\alpha + 1 = 2 \cos^2 \alpha$: $$ = 2 \sin 3\alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha $$ Левая и правая части равны, тождество доказано.