ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 501

**1)** Применим формулу синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}$. $$ 2 \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \sin{\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. --- **2)** Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos{2\alpha} = \cos^{2}{\alpha} - \sin^{2}{\alpha}$. $$ \cos^{2}{\frac{\pi}{8}} - \sin^{2}{\frac{\pi}{8}} = \cos{\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. --- **3)** Применим формулу тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}{2\alpha} = \frac{2 \operatorname{tg}{\alpha}}{1 - \operatorname{tg}^{2}{\alpha}}$. $$ \frac{2 \operatorname{tg}{\frac{\pi}{8}}}{1 - \operatorname{tg}^{2}{\frac{\pi}{8}}} = \operatorname{tg}{\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1 $$ Ответ: $1$. --- **4)** Раскроем квадрат суммы в скобках по формуле $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$: $$ \left(\cos{\frac{\pi}{8}} + \sin{\frac{\pi}{8}}\right)^{2} = \cos^{2}{\frac{\pi}{8}} + 2 \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} + \sin^{2}{\frac{\pi}{8}} $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}{\alpha} + \cos^{2}{\alpha} = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} = \sin{2\alpha}$: $$ \left(\cos^{2}{\frac{\pi}{8}} + \sin^{2}{\frac{\pi}{8}}\right) + 2 \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = 1 + \sin{\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = 1 + \sin{\frac{\pi}{4}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Подставим полученное значение в исходное выражение: $$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos{\frac{\pi}{8}} + \sin{\frac{\pi}{8}}\right)^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 $$ Ответ: $-1$.